WWW.KONF.X-PDF.RU
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Авторефераты, диссертации, конференции
 

Pages:   || 2 | 3 |

«КРУТОВА КСЕНИЯ АЛЕКСЕЕВНА ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ НА ОСНОВЕ АЖУРНОЙ ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ 01.02.04 Механика деформируемого ...»

-- [ Страница 1 ] --

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

“НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО”

На правах рукописи

КРУТОВА КСЕНИЯ АЛЕКСЕЕВНА

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ



ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ НА ОСНОВЕ

АЖУРНОЙ ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ

01.02.04 Механика деформируемого твердого тела Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Чекмарев Дмитрий Тимофеевич Нижний Новгород – 2015 Оглавление Введение

Глава 1. Постановка задач динамики упругопластических сред и вариационно-разностный метод решения

1.1 Обзор современного состояния численных методов решения нестационарных задач механики деформируемого твердого тела............... 13

1.2 Постановка задачи нестационарной динамики упругопластических сред

1.2.1 Вывод уравнений нестационарной динамики упругопластических сред в метрике начального состояния

1.2.2 Вывод уравнений в геометрически и физически линейном варианте

1.2.3 Вывод уравнений нестационарной динамики упругопластических сред в текущей конфигурации

1.3 Методика численного решения

Глава 2. Ажурная вариационно-разностная схема

2.1 Ажурная сетка

2.2 Метод построения нерегулярных ажурных сеток путем дополнительного разбиения ячеек

2.3 Метод построения нерегулярных ажурных сеток путем построения двудольного графа

2.4 Особенности реализации ажурной схемы

2.5 Алгоритм и программная реализация расчетного модуля ажурной схемы

2.5.1 Алгоритм реализации ажурной схемы на подвижной сетке........... 58 2.5.2 Алгоритм решения задачи на неподвижной сетке

2.5.3 Описание программы

2.6 Краткие выводы по главе 2

Глава 3. Аппроксимация и устойчивость вариационно-разностных схем.

..... 68

3.1 Аппроксимация вариационного уравнения

3.1.1 Аппроксимация ажурной схемы

3.1.2 Аппроксимация суперажурной схемы.

3.1.3 Аппроксимация схемы на 5 тетраэдрах.

3.1.4 Аппроксимация схемы Уилкинса.

3.1.5 Аппроксимация схемы на 6 тетраэдрах: поворотно-симметричное разбиение

3.1.6 Аппроксимация схемы на 6 тетраэдрах: центрально-симметричное разбиение

3.1.7 Аппроксимация схемы на 6 тетраэдрах: несимметричное разбиение

3.2 Устойчивость трехмерных ажурных схем.

3.3 Краткие выводы по главе 3

Глава 4. Решение нестационарных задач упругого и упругопластического деформирования твердых тел.

4.1 Численное решение упругих задач в линейной постановке

4.2 Численное решение упругих задач в геометрически нелинейной постановке

4.3 Численное решение упругопластических задач

4.3.1 Расчет упругопластической деформации ударника

4.3.2 Динамический изгиб бруса с отверстием

4.3.3 Динамический изгиб упругопластической балки под действием взрыва

4.3.4 Динамический изгиб круглой пластины под действием импульсной нагрузки

4.4 Краткие выводы по главе 4

Заключение

Список литературы

Введение Актуальность темы За последние десятилетия численные методы стали одним из важнейших инструментов механики деформируемого твердого тела. Решение нелинейных задач механики для тел сложной геометрии с подробным учетом больших деформаций, нелинейных свойств материалов без численных методов невозможно. Поэтому совершенствование численных методов решения задач механики сплошных сред, повышение их точности и эффективности – весьма актуальная задача. В настоящее время это особенно актуально применительно к решению трехмерных задач.

В работах В.Г.Баженова и Д.Т.Чекмарева [12,13] была предложена вариационно-разностная схема решения динамических задач теории оболочек (модель Тимошенко) на треугольных ячейках, в которой часть ячеек не использовалась в расчетах. Там же была обоснована более быстрая сходимость данной схемы по сравнению с традиционной.





Эта идея была обобщена Д.Т.Чекмаревым на трехмерные задачи в [99,101]. Предварительный анализ и решенные тестовые задачи показали перспективность подхода, при котором конечные элементы в виде тетраэдров заполняют расчетную область не сплошь, а с регулярными промежутками, что позволяет в разы уменьшить их число и тем самым значительно снизить вычислительные затраты без потери точности. Таким образом, реализация данного подхода, включающая разработку методики, алгоритмов и программ решения трехмерных нелинейных нестационарных задач теории упругости и пластичности, а также комплексное исследование их точности и эффективности, представляется весьма актуальной.

Степень разработанности темы. Предлагаемая в работе численная схема решения трёхмерных нестационарных задач теории упругости и пластичности основывается на хорошо разработанных вариационноразностном методе и методе конечных элементов, но является совершенно новой и оригинальной и рассматривается впервые.

Цель работы:

Разработка, математическое обоснование, реализация эффективной методики на основе новой ажурной численной схемы и решение трехмерных нестационарных задач теории упругости и пластичности.

В процессе достижения поставленной цели были рассмотрены следующие задачи:

численная реализация геометрически и физически нелинейных соотношений динамики упругопластических сред на трехмерных ажурных сетках из тетраэдральных ячеек;

разработка алгоритмов построения ажурных сеток из заданных нерегулярных гексаэдральных сеток;

анализ аппроксимации и устойчивости ажурной схемы;

решение задач динамического деформирования упругих и упругопластических тел и сравнение по точности и эффективности с традиционными методами;

Научная новизна

1. Реализована методика численного решения трехмерных нестационарных задач теории упругости и пластичности на основе новой ажурной вариационно-разностной схемы, в том числе:

–  –  –

- впервые проведен теоретический анализ устойчивости трехмерных ажурных схем и аппроксимации ажурных и ряда традиционных схем МКЭ;

- показана лучшая по сравнению с традиционными численными методами эффективность ажурной вариационно-разностной схемы.

2. Решены трехмерные нестационарные задачи теории упругости в линейной постановке, на которых проведено сравнение численных решений с аналитическими, анализ сходимости, точности и эффективности ажурной схемы по сравнению с традиционными численными схемами.

3. Решены трехмерные нестационарные задачи теории упругости в геометрически нелинейной постановке, на которых проведено исследование применимости методики и программы к решению нелинейных задач и сравнение с численными решениями на основе других численных схем и коммерческих программ.

4. Решены трехмерные нестационарные упругопластические задачи:

- расчет упругопластической деформации ударника;

- динамический изгиб бруса с отверстием;

- динамический изгиб балки под действием взрыва;

- динамический изгиб круглой пластины под действием импульсной нагрузки.

Достоверность результатов обеспечивается применением строгих математических методов исследования, подтверждается решением ряда тестовых и модельных задач, сравнением результатов расчетов с аналитическими решениями, экспериментальными данными, с численными решениями, полученными с использованием коммерческих программных комплексов.

Теоретическая значимость работы. Разработанная численная схема, ее математическое обоснование и результаты решенных задач имеют большое теоретическое значение для развития численных методов решения задач механики деформируемого твердого тела.

Практическая ценность работы. Проведенные в диссертационной работе исследования, методика и программное обеспечение, созданные на их основе, находят практическое применение при разработке отечественных инженерных программных комплексов для решения задач расчета на прочность конструкций и аппаратов новой техники. Значительная часть данных исследований проводилась в рамках целевой программы Президента РФ «Развитие суперкомпьютеров и ГРИД-технологий»

Методология и методы диссертационного исследования. Прямое численное моделирование процессов динамического деформирования упругих и упругопластических тел с использованием методов вычислительной математики: теории разностных схем, теории метода конечных элементов, численного эксперимента.

На защиту выносятся:

1. Математическое обоснование, новая методика и программное обеспечение для численного решения трехмерных нестационарных задач теории упругости и пластичности, включающие:

новую эффективную ажурную вариационно-разностную схему;

алгоритмы построения ажурных тетраэдральных сеток и математическое обоснование области их применимости;

анализ аппроксимации ажурной схемы и ряда традиционных схем;

оценки устойчивости ажурных схем типа «крест» решения трехмерных задач теории упругости;

2. Результаты решения ряда упругих задач в линейной постановке и сравнение ажурной схемы по точности и эффективности с традиционными численными схемами.

3. Результаты решения ряда упругих задач в геометрически нелинейной постановке и сравнения с решениями, полученными традиционными методами.

4. Результаты решения следующих упругопластических задач: расчет упругопластической деформации ударника, динамический изгиб бруса с отверстием, динамический изгиб балки под действием взрыва, динамический изгиб круглой пластины под действием импульсной нагрузки; сравнение с экспериментальными данными и другими численными решениями.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, симпозиумах и семинарах: IV и V Всероссийских молодежных научно-инновационных школах «Математика и математическое моделирование» (Саров, 2010, 2011), XII и XIII Международных семинарах «Супервычисления и математическое моделирование» (Саров, 2010, 2011), XVII и XVIII Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова (Ярополец, 2011,2012), на Международной конференции «Вычислительная механика и современные прикладные программные системы» (Крым, Алушта, 2011), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Н.Новгород, 2011), XXIV и XXV Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Метод граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2011, 2013), Международной конференции «Неравновесные процессы в соплах и струях»

(Крым, Алушта, 2012), XXII молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения – 2013» (Казань, 2013), на семинаре НИИ механики Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского.

Публикации. По теме диссертации опубликована 19 работ, в том числе 3 из них в изданиях, рекомендованных ВАК. Основные результаты диссертации отражены в работах [38, 53-60, 67, 92, 102-106].

Личный вклад соискателя. В работах [38, 55-57, 102-105] соискателю принадлежат: разработка и реализация методики численного решения трехмерных динамических задач теории упругости в нелинейном варианте, решение динамических задач. В работах [53, 59-60] соискателю принадлежит вывод оценок устойчивости для трехмерных ажурных схем. В работах [58, 106] соискателю принадлежит разработка и реализация алгоритмов построения ажурных сеток. В работах [67, 92] соискателю принадлежит анализ аппроксимации ажурных схем, схемы Уилкинса и схем на основе линейного конечного элемента.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы из 118 наименований.

Работа содержит 144 страницы основного текста, включая 70 рисунков и 10 таблиц.

На различных этапах работа поддерживалась грантами Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ (№ НШ -4807.2010.8 2010-2011 гг., № НШ -593.2014.8 2014-2015 гг.), гранта Минобрнауки России в рамках федеральной целевой программы «Исследования по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2014годы», соглашение № 14.578.21.0036 (уникальный идентификатор RFMEFI57814X0036). Часть исследований проводилась в рамках целевой программы Президента РФ «Развитие суперкомпьютеров и ГРИДтехнологий».

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цели работы и основные защищаемые положения.

Первая глава имеет вводный характер. В ней дается обзор современного состояния численных методов решения нестационарных задач теории упругости и пластичности. На основе вариационного принципа Даламбера-Лагранжа (принципа виртуальной работы) дается вывод систем уравнений динамики изотропных упругопластических сред. Наряду с линейной постановкой задачи рассматривается также геометрически и физически нелинейная постановка. Рассмотрены два варианта учета геометрической нелинейности: на основе квадратичного варианта нелинейного тензора деформаций в начальной конфигурации и линеаризованного варианта в текущей конфигурации. Учет физической нелинейности производится на основе теории течения с линейным кинематическим упрочнением. Приводится описание вариационноразностной методики численного решения трехмерных нестационарных задач теории упругости и пластичности.

Во второй главе вводятся в рассмотрение ажурные сетки, предлагаются алгоритмы их построения на основе блочно-регулярных гексаэдральных сеток. Исследован вопрос о возможности построения ажурных сеток на базе нерегулярных сеток из гексаэдров. Доказаны теоремы о двудольности графов в виде четырехугольных и гексаэдральных сеток, покрывающих односвязные области. Тем самым обоснована область применимости разработанных алгоритмов построения ажурных сеток.

Описаны методика, алгоритм и программная реализация ажурной схемы.

В третьей главе проводится анализ аппроксимации и устойчивости трехмерных ажурных схем, а также традиционных вариационно-разностных и КЭ схем. Впервые теоретически исследовано влияние взаимного расположения конечных элементов на порядок аппроксимации численных схем метода конечных элементов. Получена единая оценка допустимого временного шага для двух вариантов ажурной схемы, совпадающая с условием Куранта-Фридрихса-Леви.

В четвертой главе рассматриваются результаты решения ряда задач динамического деформирования упругих и упругопластических тел при ударном и импульсном нагружении, проводится сравнение результатов с другими схемами, аналитическими решениями и экспериментальными данными.

Сравнение решения ажурной схемы с аналитическими решениями проводится на одномерных задачах деформирования цилиндрических и сферических оболочек. Рассмотрены задачи деформирования оболочек под действием мгновенно приложенного внутреннего давления и при заданной начальной радиальной скорости. Получено практически полное совпадение полученных с помощью ажурной схемы трехмерных численных решений с аналитическими решениями.

В задаче о колебании упругого бруса квадратного сечения, защемленного на концах под действием постоянного давления, мгновенно приложенного на части поверхности, исследована сходимость решений задачи, полученных с помощью ажурной и суперажурной схем на сетках разного масштаба. Результаты сопоставляются с решениями для нескольких вариантов схем на базе тетраэдрального 4-узлового конечного элемента с различными способами разбиения параллелепипеда на 5 или 6 тетраэдров, решениями по схеме Уилкинса и решениями ANSYS (лицензия ANSYS Academic Research customer:00623640). Оценивается сравнительная точность и экономичность ажурных схем.

На задаче о деформировании диска под действием внешнего давления проведено исследование качества ажурной схемы при решении геометрически нелинейных задач. Проведено сравнение решений с решениями ANSYS и по схеме Уилкинса.

Представлена задача о падении стального шара на жесткую поверхность. Сопоставляются решения ажурной схемы, схемы Уилкинса, схем на тетраэдрах и ANSYS.

Проведено исследование процесса упругопластического деформирования ударника при столкновении с жесткой преградой.

Проведено сравнение с решением пакета ANSYS.

Рассмотрена задача о деформировании бруса, состоящего из двух частей, жестко соединенных между собой. В одной из частей имеется отверстие. Каждая часть характеризуется собственным материалом.

Материал верхней части бруса – упругий, нижней части с отверстием – упругопластический. На верхнюю часть бруса действует распределенная нагрузка. Оба варианта ажурной схемы метрик начального состояния в текущей метрике) показали хорошее совпадение между собой и удовлетворительное совпадение с результатами ANSYS.

Решена задача о деформировании балки прямоугольного поперечного сечения, нагруженной в центральной части равномерно распределенной поверхностной силой. Приведено сравнение результатов, полученных на основе ажурной схемы, с экспериментом.

Представлена задача о деформировании круглой пластинки, нагруженной импульсом давления, моделируемым начальной скоростью, заданной в центральной части пластинки. Численное решение сравнивается с экспериментом.

Совокупность представленных упругих и упругопластических линейных и нелинейных задач на равномерных, неравномерных и нерегулярных сетках, в том числе для тел сложной геометрии, и приведенные сравнения с аналитическими решениями и экспериментальными данными демонстрируют возможности ажурной схемы, ее высокую точность и эффективность при решении динамических задач теории упругости и пластичности.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы по работе.

Глава 1. Постановка задач динамики упругопластических сред и вариационно-разностный метод решения Кратко рассматривается современное состояние численных методов решения нестационарных задач механики деформируемого твердого тела.

Рассматриваются уравнения и вариационно-разностный метод решения нестационарных задач теории упругости и пластичности как в линейной, так и в геометрически и физически нелинейной постановке.

Глава носит постановочный характер. Описание постановки задачи и методики численного решения традиционно. Отметим, что описанный ниже вариационно-разностный метод с использованием четырехузловых ячеек в виде тетраэдров тождественен численной схеме МКЭ на основе 4-узлового линейного конечного элемента.

Отметим, что изложенная в главе методика численного решения ориентирована в первую очередь на решение геометрически и физически нелинейных задач теории упругости и пластичности. Описание линейного варианта приводится с целью дальнейшего теоретического анализа аппроксимации и численной устойчивости метода.

1.1 Обзор современного состояния численных методов решения нестационарных задач механики деформируемого твердого тела Построение эффективных численных схем тесно связано с анализом и конструированием их свойств, к которым относятся: анализ точности и устойчивости; определение границ эффективной применимости в зависимости от геометрии конструкции, свойств нагружения, материала и других факторов; учет специфики динамических процессов деформирования при построении численных схем. Все эти вопросы являются недостаточно изученными.

Загрузка...

Развитие численных методов решения задач механики сплошных сред тесно связано с прогрессом в вычислительной математике. Основные достижения вычислительной математики в области решения задач математической физики отражены в учебниках и монографиях [3, 6, 8, 18, 19, 25, 30-33, 35, 73, 78, 81, 85-89, 108, 118] и других. С появлением и совершенствованием высокопроизводительной персональной вычислительной техники, интенсивно разрабатываются и внедряются пакеты прикладных программ, позволяющих рассчитывать сложные задачи динамики конструкций. В настоящее время одной из наиболее актуальных является задача повышения эффективности методов, т. е. разработки численных схем, оптимальных по программной реализации и быстродействию. Причина этого лежит во все возрастающей сложности задач, решаемых численными методами. И хотя рост быстродействия ЭВМ решает многие из проблем, сопоставимый эффект дает совершенствование и разработка новых численных схем и методов [19, 39, 73].

При численном решении задач механики сплошных сред используются следующие основные подходы, которые получили широкое распространение:

конечноразностные методы, вариационно-разностные методы, метод конечного элемента, метод конечных объемов (схема С.К.Годунова [3, 28] и ее развитие), метод граничных интегральных уравнений и граничного элемента [6, 21, 95]. Применяемые численные методы непосредственно связаны с формой записи исходной математической задачи. При конечноразностном подходе задача формулируется как система дифференциальных уравнений с начальными и граничными условиями. Для метода конечных элементов и вариационно-разностного метода используется вариационная формулировка, в методе конечных объемов система уравнений записывается в виде законов сохранения.

Выбор численного метода тесно связан с постановкой решаемой задачи.

–  –  –

где qi варьируемые параметры (в зависимости от выбранного вариационного принципа это могут быть перемещения, скорости, ускорения, напряжения и т.п. [16, 17, 25, 75]). Данная форма записи служит основой для построения широкого класса вариационно-разностных схем и схем метода конечного элемента [40, 41, 93, 94]. Учет геометрически нелинейных эффектов [26,34,76,82,109,112] производится с использованием нелинейных лагранжевых, эйлеровых или совместных лагранжево-эйлеровых постановок Учет нелинейного поведения материала при деформировании [77].

осуществляется на базе деформационных и инкрементальных теорий пластичности [12, 22,27,36,42-48,62,64].

Большой вклад в развитие конечно-разностных методов внесли К.И.Бабенко, А.А.Самарский, Г.И.Марчук, Ю.И.Шокин, В.С.Рябенький, Р.Рихтмайер, М.Уилкинс, В.Н. Кукуджанов, Н.Г. Бураго и другие ученые.

Эти методы являются наиболее универсальными и гибкими и имеют наиболее широкое применение при решении любых задач математической физики. [3, 19, 32,68,69,85, 87-89,96,97,108]. Важнейшей задачей при построении конечноразностных схем является сужение их класса путем наложения на них различных дополнительных ограничений. Классических критериев качества численных схем (порядок аппроксимации и устойчивость) недостаточно. Можно отметить многолетнюю тенденцию дополнения количественных характеристик (порядок аппроксимации) качественными (консервативность, монотонность и т. д.) [12,20,79,80,108].

При численном решении нестационарных задач теории упругости и пластичности наибольшее распространение получила явная разностная схема М.Уилкинса [96, 97]. В ней реализована конструкция задания величин в узлах и "ячейках". По сути имеет место схема с разнесенными сетками по пространству и по времени. По пространству узлы основной сетки, в которых вычисляются неизвестные перемещения, усилия, скорости и ускорения; "центры ячеек" основной сетки (по сути это узлы дополнительной сетки, смещенной относительно основной на некоторую долю ее шага), в которых вычисляются все величины, являющиеся первыми производными от перемещений (деформации) или связанными с первыми производными функциональными зависимостями (напряжения и т.п.). По времени: целые шаги, в которых аппроксимируются перемещения, силы и ускорения;

полуцелые шаги, в которых аппроксимируются скорости. В итоге получим основную и две смещенные сетки (по пространству и по времени), при этом на основной сетке определены неизвестные и их производные четного порядка, а на смещенных производные нечетного порядка. Данная конструкция является очень гибкой и удобной по следующим причинам:

свойства материала задаются в ячейке совершенно независимо от основной сетки, заменяя "физический блок", легко получить материал с любой реологией; она ориентирована в общем случае на неортогональные и даже на нерегулярные сетки, что позволяет применять ее в областях сложной формы;

схема получается двухслойной по времени. В простейшем линейном случае построенная по данному принципу схема может быть преобразована к виду, аналогичному стандартной схеме "крест" для волнового уравнения. Можно отметить, что при этом операторы аппроксимации вторых производных получаются автоматически как суперпозиции операторов первых производных.

К недостаткам конечно-разностного метода следует отнести проблему граничных условий, содержащих условия на производные. Если концепция конечноразностного подхода проводится последовательно, то на границе нужно вводить особые операторы. При этом чтобы сохранить порядок аппроксимации задачи (большинство применяемых схем имеют на равномерной сетке порядок аппроксимации по пространству не ниже второго), эти операторы должны быть весьма сложными. Чтобы обойти данную проблему, при построении конечноразностных схем все чаще прибегают к интегральным формулировкам задач (интегроинтерполяционный подход [87], вариационно-разностный метод и т.д.).

Вариационно-разностные методы развиты в работах С.Г.Михлина, Л.А.Оганесяна, Г.И.Марчука, В.И. Агошкова, В.Г.Баженова и других [1,17, 65, 75, 81]. Эти методы отличаются от конечно-разностных тем, что в их основе лежит не дифференциальная, а вариационная постановка задачи. Под вариационно-разностными часто понимают проекционно-сеточные методы, т.е. метод конечного элемента. Однако в целом вариационно-разностные методы к ним не сводятся [65]. Вариационно-разностным является любой метод, основанный на сеточной аппроксимации вариационного уравнения или вариационной задачи для некоторого функционала. При этом построения базисных функций не требуется. Таким образом, не любую вариационноразностную схему можно считать схемой МКЭ и наоборот. Построение разрешающих соотношений схемы сводится к конечноразностной аппроксимации вариационного уравнения. Интеграл представляется в виде суммы интегралов по ячейкам разностной сетки, которые в свою очередь выражаются приближенно через значения перемещений в узлах, принадлежащих ячейке. Данный класс схем существенно уже конечноразностных. Среди них встречается много удачных схем, что свидетельствует о преимуществах вариационного подхода. К достоинствам вариационно-разностных методов относится возможность использования неравномерных и нерегулярных сеток, при этом необходимо определить лишь инцидентность узлов и ячеек. Также достоинством является единообразный расчет внутренних и граничных узлов. Вариационноразностный метод подразумевает меньшие по сравнению с конечноразностным методом требования к гладкости функций.

Указанные свойства делают вариационно-разностные методы очень удобными для программной реализации. Их можно применять для областей сложной формы. Полученные в результате разностные схемы по форме аналогичны разностной схеме Уилкинса и обладают сходными свойствами.

Вместе с тем сам по себе вариационно-разностный метод не является панацеей от всех недостатков. Для высокого качества схем необходимо выполнение ряда дополнительных требований. Еще одним недостатком вариационно-разностных схем является возможность возникновения в них (как и в конечноразностных схемах) эффекта неустойчивости "песочные часы" [11, 113, 115-117] при использовании ячеек с числом узлов больше минимально возможного количества (трех в двумерных задачах, четырех в трехмерных).

Метод конечного элемента в настоящее время является широко используемым методом решения задач механики деформируемого твердого тела на практике. Достоинствами МКЭ являются гибкость и разнообразие сеток, стандартные приемы построения дискретных задач для произвольных областей, простота учета естественных краевых условий и т. д. Кроме того, методы МКЭ применимы к более широкому классу исходных задач, а оценки погрешностей приближенных решений, как правило, получаются при менее жестких ограничениях, чем в методе конечных разностей.

МКЭ разрабатывался многими отечественными и зарубежными (в первую очередь американскими) учеными. Большой вклад в его становление внесли Р.Курант, Дж. Аргирис, Р. Клаф, О.Зенкевич, Р.Галлагер, Дж. Оден, Ж.Деклу, Г.Стренг, Дж. Фикс и другие. Дальнейшее развитие метода связано с именами отечественных ученых: Л.А.Розина, А.С.Сахарова, В.А.Постнова, Р.Б.Рикардса, С.А.Капустина, А.И.Голованова и других. По МКЭ имеется обширная библиография [23, 24,28-30,33-36,49-52,71,72,74,78,83,84,90,91, 114,118].

В своей основе МКЭ имеет довольно простую идею расчета сложной конструкции путем ее расчленения на отдельные простейшие части (КЭ), напряженно-деформируемое состояние которых сравнительно легко описывается, и затем объединяя их вновь в единую конструкцию с выполнением условий равновесия и непрерывности поля перемещений.

Отличительной чертой МКЭ по сравнению с конечноразностными методами является то, что в нем неизвестные функции определены везде в области определения задачи, а не в дискретном наборе точек. При этом в качестве исходных уравнений для МКЭ могут использоваться как дифференциальные уравнения, так и вариационные принципы в зависимости от метода построения разрешающей системы уравнений (коллокации, взвешенных невязок, Рэлея-Ритца-Галеркина). Однако в большинстве случаев в задачах механики используется вариационный подход, что послужило основанием причислить МКЭ к вариационно-разностным методам. Благодаря своей физической наглядности, высокой алгоритмичности и удобству применения в областях сложной формы МКЭ получил широкое распространение. На его основе построено большое количество удачных численных схем. Многие из них имеют высокий порядок аппроксимации (эрмитовы, сирендиповы и т.п.

элементы) и по своей сложности многократно превышают известные конечноразностные схемы. Благодаря специфике подхода МКЭ они достаточно просто реализуются, в том числе и на неравномерных и нерегулярных сетках.

Практически для любых задач механики деформируемого твердого тела реализованы постановки и алгоритмы решения в рамках конечноэлементных методик. С помощью МКЭ рассчитываются напряженнодеформированные состояния реальных конструкций различных отраслей техники и строительства. Развитие МКЭ на динамические задачи и нелинейные проблемы позволяет моделировать такие процессы как удар, разрушение, вытяжку, потерю устойчивости и т.д. Подтверждением развития МКЭ служат многочисленные коммерческие и бесплатные пакеты прикладных программ, которые появляются уже на протяжении более 40 лет.

Применительно к задачам динамики конструкций у МКЭ в общем те же проблемы, что и у конечноразностных и вариационно-разностных методов. Конечноэлементная аппроксимация относится только к пространственным переменным. Неизвестные функции являются непрерывными по пространству и дискретными по времени. Таким образом, по временной координате применяется не конечноэлементная, а конечноразностная аппроксимация. Для построения явных конечноэлементных схем приходится при аппроксимации ускорений переходить к несогласованным диагональным матрицам масс, вносящим определенные противоречия в конечноэлементный подход. Еще одной проблемой в случае использования явных схем является их устойчивость.

Если использовать явные схемы высокого порядка точности, ограничения на временной шаг и гладкость функций будут чересчур жесткими. Поэтому в динамических задачах в сочетании с явными схемами приходится ограничиваться простейшими линейными и билинейными конечными элементами, особенно для нелинейных задач. Это же замечание справедливо и для неявных схем при использовании итерационных процедур решения полученных систем уравнений [73].

При решении трехмерных динамических задач в основном используются шестигранные и тетраэдральные 8-узловые 4-узловые конечные элементы. Последние характеризуются относительной простотой расчетов, но обладают завышенной сдвиговой жесткостью, что отрицательно влияет на сходимость и точность расчета. При использовании шестигранных элементов может возникнуть проблема “песочных часов” (при неполном интегрировании), при полном же интегрировании проблемы с устойчивостью.

Еще одним общим вопросом для численных методов всех вышеперечисленных классов являются трудности их теоретического сравнительного анализа едиными методами. Существует разрыв между теориями разностных схем и метода конечного элемента. Причины этого иногда объективны, поскольку теория разностных схем в отличие от МКЭ оперирует практически только с задачами на регулярных сетках. Но в случае применения регулярных и особенно равномерных конечноэлементных сеток разрыв между этими теориями может быть преодолен [39, 100], и схемы МКР и МКЭ после преобразования могут быть исследованы едиными методами [15]. Далее это применяется к анализу аппроксимации и устойчивости вариационно-разностных и конечноэлементных схем.

Можно выделить следующие проблемы решения динамических задач теории упругости и пластичности.

Учет геометрической нелинейности. [34-36, 82, 109 и др.] Этот вопрос связан с двумя факторами наличием больших перемещений и углов поворота и использованием криволинейных систем координат. Для больших деформаций использование принципа виртуальных скоростей вместо принципа виртуальных перемещений является более удобным, так как, вопервых, компоненты тензора скоростей деформаций линейно зависят от компонент вектора скорости, а компоненты тензора деформаций нелинейно зависят от перемещений, во-вторых, принцип виртуальных скоростей позволяет характеризовать движение в произвольный момент времени в терминах как лагранжевых, так и эйлеровых переменных, а принцип виртуальных перемещений всегда предполагает лагранжево представление движения относительно некоторого начального состояния.

Неустойчивость типа "песочные часы". Данная трудность появляется в конечно-разностных и вариационно-разностных схемах [11, 113, 115-117] и связана с неполнотой систем разностных операторов, аппроксимирующих функцию и производные в ячейках разностной сетки. Она возникает, когда число узлов в ячейке превышает число используемых разностных операторов для аппроксимации производных. Типичные случаи схема на четырехугольных ячейках в плоском случае (три оператора, четыре узла) и шестигранная ячейка в трехмерных задачах (четыре оператора, восемь узлов). Неполнота систем разностных операторов в ячейках приводит к тому, что сеточный оператор задачи утрачивает свойство положительности. При этом в ячейке возникает как-бы свободно перемещающийся кинематический механизм, закрепление которого происходит только в граничных узлах с заданными условиями в перемещениях. Поэтому в некоторых задачах неустойчивость "песочные часы" не возникает (это задачи с граничными условиями в перемещениях и сравнительно небольшим числом узлов сетки).

Искажения сеток типа "песочные часы" не несут в себе энергии и никак не сказываются на определении напряженно-деформированного состояния среды. Вместе с тем, учитывая, что вычисления в ЭВМ ведутся на конечной разрядной сетке, они могут способствовать накоплению погрешностей при вычислениях с плавающей запятой. Искажения поля перемещений при этом могут быть весьма значительными. Для подавления этой неустойчивости было предложено использовать искусственную вязкость специального типа, повысить порядок аппроксимации по пространственным переменным [121], вводить в расчеты дополнительные треугольные (тетраэдральные) ячейки [5,7], вычислять моментные составляющих деформаций с помощью аппроксимации линейными функциями [4,63]. Такой подход позволяет в рамках единого алгоритма исследовать нестационарное деформирование составных конструкций, включающих массивные тела и оболочки. Прием борьбы с неустойчивостью типа «песочные часы», получивший название «моментной схемы», более подробно изложен в работe [8] применительно к трехмерным задачам теории упругости и пластичности. Другие подходы к устранению эффекта «песочных часов» предлагались в работах [113,115При использовании треугольных и тетраэдральных конечных элементов неустойчивость типа "песочные часы" не возникает.

Экспоненциальный рост вычислительных затрат при увеличении размерности задачи. При увеличении размерности задачи в разы возрастает количество узлов и элементов, соответственно возрастают вычислительные затраты. Несмотря на несомненный прогресс в развитии высокопроизводительных ЭВМ, проблему эффективности нельзя считать решенной.

При численном решении задач механики сплошных сред с использованием конечных элементов, содержащих узлы только в их вершинах, имеют место следующие предельные соотношения числа узлов N 1 и числа элементов N 2 при измельчении сетки:

–  –  –

В среднем число элементов, инцидентных внутреннему узлу конечноэлементной сетки в одномерном случае равно 2; в двумерном случае для четырехугольных сеток данное число равно 4, для треугольных сеток равно 6. В трехмерном случае для гексаэдральных сеток оно равно 8, для тетраэдральных сеток – 20-24.

Таким образом, при увеличении размерности задачи наблюдается резкое увеличение числа элементов (ячеек), окружающих каждый узел расчетной сетки. При этом информация из одного узла используется для определения физических полей для всех содержащих его элементах. Таким бразом, затраты на формирование систем уравнений в трехмерном случае значительно выше чем в одномерном и двумерном случаях. В связи с этим актуальна задача снижения данных затрат путем более эффективного использования узловой информации.

Для типичной задачи механики сплошных сред дифференциальный оператор содержит производные не выше второго порядка. При этом в узлах пространственной сетки заданы (или считаются неизвестными) значения искомых функций или физических полей (перемещений, скоростей и т.п.). В элементах определяются первые производные этих полей и функции от них (деформации и напряжения, например). Далее после процедуры сборки на полном шаблоне, включающем центральный узел и узлы, принадлежащие инцидентным ему элементам; получается аппроксимация дифференциального оператора задачи (например, уравнения движения).

Данный оператор содержит аппроксимацию вторых производных, которая получается в два этапа: численное дифференцирование в пределах элемента (вычисляются первые производные) и численное дифференцирование между элементами (вычисляются вторые производные). В обоих случаях для выполнения операции численного дифференцирования (определения всех частных производных) достаточно четырех точек, не лежащих в одной плоскости. На первом этапе это узлы элемента, на втором это центры элементов, окружающих центральный узел полного шаблона. Если на первом этапе для элементов в виде тетраэдров информация используется максимально эффективно, то на втором этапе вместо минимально допустимых четырех точек используется примерно 20-24, что многократно превышает минимально необходимое количество. Поэтому теоретически возможно значительно (почти на порядок) уменьшить затраты на формирование системы уравнений, если уменьшить число элементов, окружающих каждый узел разностной сетки. Это возможно, если конечные элементы будут заполнять расчетную область не сплошь, а с регулярными промежутками. Например, в случае трехмерной гексаэдральной сетки расчетным элементом будет центральный тетраэдр каждого параллелограмма. Количество расчетных узлов при этом сократиться в 2 раза. Такая прореженная «ажурная» схема будет более эффективной, не понижая порядок аппроксимации по пространственным координатам традиционных схем и не накладывая дополнительных ограничений на шаг по времени.

Значительное число работ [1,4,9,10,15,18,35,61,83 и др.] посвящено расчету пластин и оболочек, а также тонкостенных конструкций под действием ударных и импульсных нагрузок. Данные задачи обладают своей спецификой, в том числе и при численном решении, которая отражена в указанных работах.

Таким образом, в целом вопросы математического обоснования и теоретического анализа численных методов решения задач математической физики хоть и являются достаточно изученными, но по-прежнему остаются актуальными вопросы разработки и развития теоретических методов анализа точности, устойчивости и эффективности численных схем решения задач теории упругости и пластичности. Также остаются актуальными вопросы разработки новых численных схем для решения задач указанного класса наряду с известными в настоящее время.

–  –  –

Рассматриваются вариационные постановки нестационарных задач теории упругости и пластичности на основе принципов виртуальных перемещений Даламбера-Лагранжа и принципа виртуальных скоростей Журдена.

Cреда полагается однородной и изотропной. Ввиду специфики рассматриваемых в работе задач ударного и импульсного деформирования на коротких промежутках времени, физические процессы можно считать адиабатическими, а среду – баротропной, температурные эффекты в моделях не рассматриваются.

–  –  –

Полагаем, что тело занимает объем V, на границе которого V Su S p заданы граничные условия: на части границы Su – в перемещениях, на S p – в напряжениях. Предполагаются известными поля внешних массовых F и поверхностных P сил, распределение перемещений u и скоростей u при t=0 (начальные условия). Метод построения численной схемы основан на вариационном подходе. При выводе уравнений будем исходить из общего уравнения динамики (вариационного принципа Даламбера-Лагранжа или принципа виртуальной работы):

Aв нутр Aв неш, где работа внешних сил на действительных перемещениях равна сумме работ внешних массовых и поверхностных сил. Будем придерживаться следующих обозначений:

–  –  –

при этом предполагается пластическая несжимаемость материала ii 0.

Скорости пластических деформаций и напряжения связаны законом течения

–  –  –

Таким образом, геометрически и физически нелинейная задача теории пластичности формулируется как система соотношений (1.2)-(1.8) (вариационная постановка) или (1.3)-(1.10) (дифференциальная постановка).

1.2.2 Вывод уравнений в геометрически и физически линейном варианте Вопросы аппроксимации, устойчивости, сходимости численной схемы для геометрически и физически нелинейного варианта задачи достаточно сложно исследовать. Поэтому наряду с нелинейным вариантом рассматривается также частный случай геометрически и физически линейной постановки трехмерной задачи теории упругости, на котором далее в полном объеме будут теоретически исследованы указанные вопросы. Деформации, перемещения и углы поворота считаются малыми, пренебрегаются

–  –  –

Программная реализация учета геометрической нелинейности возможна в двух вариантах – на подвижной и неподвижной сетках. Варианты постановки задачи отличаются разным учетом нелинейных эффектов.

Применяя принцип Даламбера-Лагранжа, как было рассмотрено выше,

–  –  –

Добавляя к приведенным соотношениям кинематические граничные условия в перемещениях (1.7) и начальные условия (1.8) получаем полную формулировку начально-краевой задачи нелинейной теории пластичности в текущей конфигурации.

Вариационное уравнение (1.16) эквивалентно системе уравнений движения и статическим граничным условиям в напряжениях.

1.3 Методика численного решения Рассмотрим кратко традиционную методику численного решения начально-краевой задачи теории пластичности в начальной конфигурации.

При построении вариационно-разностной схемы распределение перемещений в ячейке будем считать линейным, а деформации и напряжения

– постоянными. Данное предположение полностью соответствует схеме метода конечного элемента на базе линейного четырехузлового элемента в виде тетраэдра. Однако поскольку при описании методики не используется техника МКЭ, состоящая в векторном представлении решения, построении матриц жесткости и масс, разрешающей системы матричных уравнений, то будем пользоваться вариационно-разностной терминологией [11].

Вариационно-разностный метод решения начально-краевых задач теории упругости (1.2)-(1.5) основан на конечно-разностной аппроксимации вариационного уравнения (1.1) или (1.2). Можно выделить следующие этапы:

построение сеток, аппроксимация вариационного уравнения, построение системы сеточных уравнений, и, наконец, численное решение конечноразностной задачи.

Построение тетраэдральных сеток. При решении трехмерных задач чаще всего используются тетраэдральные или гексаэдральные сетки. Задача построения сеток является сложной алгоритмической задачей, которая остается актуальной в настоящее время. По теме построения расчетных сеток имеется достаточное количество публикаций, а также прикладных программ (сеточных генераторов).

Предполагается, что расчетная область задачи покрывается сеткой из тетраэдров. Назовем их ячейками, а их вершины – узлами основной сетки.

Если узел является вершиной ячейки, будем говорить, что узел инцидентен данной ячейке, а ячейка инцидентна данному узлу. Примем, что основная сетка имеет N 1 узлов и N 2 ячеек. Объемы ячеек основной сетки обозначим через Vi (i=1,..., N 2 ).

Введем в рассмотрение также двойственную сетку, ячейки которой привяжем к узлам, а узлы – к центрам ячеек основной сетки. Объемы ячеек двойственной сетки обозначим через V'i (i=1,..., N 1 ). Определим их по формуле

–  –  –

где суммирование ведется по всем ячейкам основной сетки, инцидентным i-му узлу.

На рисунке 1.1 для иллюстрации приведены примеры основных и двойственных двумерных сеток для случая соответственно четырехугольной и треугольной основных сеток.

–  –  –

В этих формулах нижний индекс обозначает локальный номер узла тетраэдра, верхний – номер координаты, fi – значение функции в соответствующем узле. Легко видеть, что определитель V – смешанное

–  –  –

где j – номер ячейки, k(j) – множество узлов, инцидентных j-ой ячейке, коэффициенты могут быть определены из формул (1.17).

Перейдем к аппроксимации вариационного уравнения (1.2). Покроем область основной сеткой из N1 ячеек и N2 узлов. Соответственно двойственная сетка будет состоять из N2 ячеек и N1 узлов. Будем считать неизвестные перемещения u1,u2,u3 и внешнюю нагрузку определенными в узлах основной сетки, напряжения ij – в ячейках основной сетки (узлах двойственной сетки), граничные усилия – в граничных узлах основной сетки.

Заменим в вариационном уравнении (1.2) интегралы по области V и поверхности S конечными суммами. При этом интеграл, имеющий смысл вариации внутренней механической энергии тела, будем аппроксимировать суммой по ячейкам основной сетки, а интеграл от внешних сил (включая инерционные) – суммой по ячейкам двойственной сетки. Таким образом, вариационное уравнение (1.2) аппроксимируется вариационно-разностным уравнением

–  –  –

Рассмотренный вариант вариационно-разностного метода полностью идентичен МКЭ на базе 4-узлового элемента в виде тетраэдра с линейным распределением перемещений. Он широко используется в вычислительной практике. В качестве примера можно привести элемент SOLID164 (вариант, использующий тетраэдральные элементы) в инженерном пакете ANSYS [49, 84]. Недостатком данной методики численного решения является ее медленная сходимость, связанная с эффектом «завышенной сдвиговой жесткости 4-узлового тетраэдрального элемента».

Глава 2. Ажурная вариационно-разностная схема Рассмотренная в первой главе традиционная методика численного решения трехмерных динамических задач теории упругости на базе линейного 4-узлового конечного элемента обладает известным недостатком – медленной сходимостью, связанной с эффектом завышенной сдвиговой жесткости.



Pages:   || 2 | 3 |
 
Похожие работы:

«БОЯРЧЕНКО ОЛЬГА ДМИТРИЕВНА ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРЫ ПЕРЕХОДНЫХ ЗОН В МНОГОСЛОЙНЫХ И ГРАДИЕНТНЫХ СВС-МАТЕРИАЛАХ Специальность 01.04.17 – Химическая физика, горение и взрыв, физика экстремальных состояний вещества Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук Научный руководитель: кандидат технических наук А....»

«Иванова Анна Леонидовна ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ СЦИНТИЛЛЯЦИОННОЙ УСТАНОВКИ TUNKA-GRANDE ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ПЕРВИЧНЫХ КОСМИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ В ОБЛАСТИ ЭНЕРГИЙ 1016 1018 ЭВ Специальность 01.04.23 – физика высоких энергий ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ: доктор физико-математических...»

«Альсурайхи Абдулазиз Салех Али Поверхностные свойства легкоплавких сплавов бинарных и тонкопленочных систем с участием щелочных металлов 01.04.07 – физика конденсированного состояния ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук...»

«Нажмудинов Рамазан Магомедшапиевич ОРИЕНТАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ В ПОЛЯРИЗАЦИОННОМ ТОРМОЗНОМ ИЗЛУЧЕНИИ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭЛЕКТРОНОВ В ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ СРЕДАХ Специальность 01.04.07 — Физика конденсированного состояния ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических...»

«ДЕТУШЕВ ИВАН ВАСИЛЬЕВИЧ ФУНДАМЕНТАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ СТУДЕНТОВ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ВУЗОВ НА ОСНОВЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ 13.00.02 – теория и методика обучения и воспитания (математика) Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук Научный руководитель: доктор...»

«Шахсинов Гаджи Шабанович НЕСТАЦИОНАРНЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЕМ МЕТАСТАБИЛЬНЫХ АТОМОВ ИНЕРТНЫХ ГАЗОВ В ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛНОВОДАХ 01.04.04 – физическая электроника ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель: д. ф.-м. н., профессор Ашурбеков Назир Ашурбекович Научный консультант: д. ф.-м. н., профессор Иминов Кади Османович Махачкала – 2015 Оглавление ВВЕДЕНИЕ...»

«ВОРОНЦОВА ЕВГЕНИЯ АЛЕКСЕЕВНА МЕТОД ОТДЕЛЯЮЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ОТСЕЧЕНИЯМИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ЗАДАЧАХ АНАЛИЗА ДАННЫХ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Научный...»

«ЧАН ВАН ХАНЬ СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОМЫШЛЕННЫХ БОРТОВЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ СЕТЕВОЙ ИНФОРМАЦИОННОЙ СРЕДЫ Специальность 05.13.01 – «Системный анализ управление и обработка информации» ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата технических наук Научный руководитель: д.т.н., профессор Нгуен Куанг Тхыонг Москва 2015...»

«ЧИЯНОВА АНАСТАСИЯ ИВАНОВНА ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ МОДИФИЦИРОВАНИЯ ПОРОШКОВЫХ ЦИНКОВЫХ ЭЛЕКТРОДОВ Специальность 02.00.04 – Физическая химия (технические науки) Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук Научный руководитель: кандидат технических наук, доцент Бачаев Александр Андреевич Нижний Новгород – 2015 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ Глава 1. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР 8 1.1 Катодные...»

«Черемхина Анастасия Петровна ОЦЕНКА ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ИЗМЕНЕНИЯ ИНЖЕНЕРНОГЕОЛОГИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГИДРООТВАЛОВ ВСКРЫШНЫХ ПОРОД В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ЭТАПА ЭКСПЛУАТАЦИИ Специальность 25.00.16 Горнопромышленная и нефтегазопромысловая геология, геофизика,...»

«Абрамова Полина Владимировна ВЛИЯНИЕ ОБЪЕМНОЙ СТРУКТУРЫ И СОСТОЯНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ СЛОЕВ ТИТАНА, НИКЕЛЯ И НИКЕЛИДА ТИТАНА НА ЗАКОНОМЕРНОСТИ ПРОТЕКАНИЯ ПРОЦЕССОВ ИХ ОКИСЛЕНИЯ Специальность 02.00.04 – физическая химия...»

«ПАНЧЕНКО Алексей Викторович МАРКШЕЙДЕРСКАЯ ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ КРИВОЛИНЕЙНОГО В ПЛАНЕ БОРТА КАРЬЕРА Специальность 25.00.16 – Горнопромышленная и нефтегазопромысловая геология, геофизика, маркшейдерское дело и геометрия недр Научный руководитель: доктор технических...»

«АНУЧИН СЕРГЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ КВАРЦЕВОЙ КЕРАМИКИ ПРИ ИНТЕНСИВНЫХ ТЕПЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ 01.04.07 – Физика конденсированного состояния ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель – д.т.н., профессор Резник С.В. Обнинск – ОГЛАВЛЕНИЕ Стр. Список...»

«ЕМЕЛЬЯНОВ НИКИТА АЛЕКСАНДРОВИЧ Структура и диэлектрические свойства наночастиц BaTiO3 c модифицированной поверхностью и композитного материала на их основе Специальность 01.04.07 – физика конденсированного состояния ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель: доктор технических наук, профессор, Заслуженный деятель науки РФ Сизов А.С. Курск – 2015...»

«Бобров Александр Игоревич Исследование полей упругих деформаций и напряжений в массивах вертикально упорядоченных Ge(Si)-наноостровков. Специальность 01.04.07 – физика конденсированного состояния Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель д.ф.-м.н., проф. Д.А. Павлов...»

«САВЕЛЬЕВ Денис Игоревич ГИДРОГЕОЛОГИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ МЕРОПРИЯТИЙ ПО ПРЕДОТВРАЩЕНИЮ НЕГАТИВНЫХ ПОСЛЕДСТВИЙ ЗАТОПЛЕНИЯ УГОЛЬНЫХ ШАХТ Специальность 25.00.16 – Горнопромышленная и нефтегазопромысловая геология, геофизика, маркшейдерское дело и геометрия недр Диссертация...»

«БАБИЧЕВА ТАТЬЯНА СЕРГЕЕВНА Методы математического и имитационного моделирования процессов локального взаимодействия в транспортных системах Специальность 05.13.18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель: кандидат технических наук, доцент, в. н. с. В. П. Осипов...»

«ЗАХАРОВ ФЁДОР НИКОЛАЕВИЧ ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ УКВ В СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНОЙ ТРОПОСФЕРЕ НАД МОРСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ Специальность 01.04.03 – Радиофизика ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата технических наук Научный руководитель доктор технических...»

«Семиков Сергей Александрович Методы экспериментальной проверки баллистической теории света 01.04.03 – Радиофизика ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель д. ф.-м. н., проф. Бакунов Михаил Иванович Нижний Новгород – 2015 Содержание ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1....»

«Чирская Наталья Павловна Математическое моделирование взаимодействия космических излучений с гетерогенными микроструктурами Специальность: 01.04.20 – физика пучков заряженных частиц и ускорительная техника 01.04.16 – физика атомного ядра и элементарных частиц диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель: доктор...»









 
2016 www.konf.x-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, диссертации, конференции»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.