WWW.KONF.X-PDF.RU
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Авторефераты, диссертации, конференции
 

Pages:   || 2 | 3 |

«БАНАХОВЫХ КОНУСАХ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ ...»

-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. В. И. ВЕРНАДСКОГО

На правах рукописи

ХАЛИЛОВА ЗАРЕМА ИСМЕТОВНА

УДК 517.98: 517.972

КОМПАКТНЫЕ СУБДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

В БАНАХОВЫХ КОНУСАХ



И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В

ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ

01.01.01 – Вещественный, комплексный и функциональный анализ Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Орлов Игорь Владимирович Симферополь – 2014

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4 1 Обзор литературы 10 2 Сублинейные операторы в нормированных конусах 15

2.0 Введение. Предварительные сведения.............. 15

2.1 Абстрактные нормированные конуса и их свойства....... 16

2.2 Сублинейные операторы в нормированных конусах...... 22 2.2.1 Сублинейные операторы и их свойства......... 22 2.2.2 Бисублинейные операторы и их свойства........ 30

2.3 Сублинейные K–операторы и K–функционалы......... 32 2.3.1 Сублинейных K–операторы и K–функционалы и их свойства........................... 32 2.3.2 Бисублинейные K–функционалы и их свойства..... 40 3 Компактные субдифференциала первого и высших порядков

3.0 Введение............................... 42

3.1 K–субдифференциалы отображений скалярного аргумента (обзор)................................ 44

3.2 K-пределы и их основные свойства................ 47

3.3 K–субдифференциальное исчисление первого порядка..... 52 3.3.1 K-субдифференциалы по направлению и их свойства. 52 3.3.2 Слабый K–субдифференциал, K–субдифференциал Гато, K–субдифференциал Фреше............ 55 3.3.3 Общие свойства сильных K–субдифференциалов.... 62

3.4 Теорема о среднем для K–субдифференцируемых отображений 73

3.5 K–субдифференцируемость и субгладкость............ 77

3.6 Связь K–субдифференцируемости на отрезке с обычной диффере

–  –  –

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы.

Вариационные задачи с негладким интегрантом составляют важную часть современного вариационного исчисления (см., например, [18], [19], [36], [55], [68]).

Так, например, введение модуля под знак классического вариационного функционала уже приводит к экстремальной задаче, которая не поддается исследованию классическими методами, ввиду нарушения гладкости интегранта.

В подобных ситуациях обычно применяются методы негладкого анализа ([33], [68]), использующие различные типы субдифференциалов, каждый из которых имеет свои преимущества и свою разумную область применимости.

Субдифференциалы, как инструмент негладкого анализа, достаточно давно получили признание в математике (см., например, [7], [40], [45]).

Начиная с классического субдифференциала выпуклого функционала (см., например, [58], [60]), появились и продолжают появляться новые определения субдифференциалов, рассчитанные на применение к различным классам экстремальных и других негладких задач (такие, как известный субдифференциал Ф. Кларка ([53]), субдифференциал Б. Н. Пшеничного ([91], [92]) и многие другие). В большинстве своем эти определения с отображениями в евклидовы пространства, но имеются и более общие.

При всем том, "больным местом" современного субдифференциального исчисления является отсутствие значимой теории субдифференциалов высших порядков. Это ведет, например, к отсутствию достаточных условий экстремума вне рамок выпуклости (в той или иной форме). По существу, это ограничивает общую теорию экстремальных задач "прямыми методами", восходящими к принципу Гильберта-Лебега (см., например, [21], [34], [39]).

Таким образом, назрела необходимость в построении развитого субдифференциального исчисления, включающего исчисления первого и высших порядков, вплоть до формулы Тейлора и теории экстремумов, и имеющего широкую область применимости.





В работах И. В. Орлова и Ф. С. Стонякина ([83], [84], [97]– [102]) был введен и подробно исследован в случае скалярного аргумента так называемый компактный субдифференциал (K–субдифференциал) для отображений вещественного аргумента в ЛВП. В случае пространств Фреше K–субдифференциал оказался адекватным инструментом и позволил найти топологическое решение проблемы Радона – Никодима ([84], [100]).

Естественным образом возник вопрос о переносе понятия K–субдифференциала на случай векторного аргумента. Вопрос диктуется не только внутренней логикой теории, но и соображением (возможно, более важным) о приложениях в вариационном исчислении.

В наших работах ([85]–[87], [114]–[122]) построено развитое K–субдифференциальное исчисление, включающее исчисления первого и высших порядков. Полученные результаты позволяют исследовать вариационные экстремальные задачи с негладким (субгладким) интегрантом, которые не могут быть исследованы классическими методами.

Связь работы с научными программами, планами, темами.

Работа выполнялась в рамках госбюджетной темы кафедры алгебры и функционального анализа Таврического национального университета имени В. И. Вернадского "Проблемы функционального и бесконечномерного анализа"(2011-2015 гг., номер государственной регистрации 0111U000916), в которой автор принимал участие в качестве исполнителя.

Цель и задачи исследования.

Описание нормированных и банаховых конусов. Построение аппарата теории многозначных субаддитивных операторов с компактными выпуклыми значениями (K–операторов) в банаховых конусах.

Применение полученных результатов для построения, в основных чертах, развитой теории компактных субдифференциалов для отображений в банаховых конусах первого и высших порядков, вплоть до формулы Тейлора и теории экстремумов.

Приложения к вариационным функционалам с субгладким интегрантом.

Получение оценки K–субдифференциала первого и второго порядка вариационного функционала, получение компактного выпуклого аналога уравнения Эйлера–Лагранжа, необходимого условия Лежандра, достаточного условия Лежандра–Якоби. Рассмотрение конкретных примеров.

Объект исследования.

Компактные субдифференциалы отображений в банаховых конусах, компактные субдифференциалы вариационных функционалов с субгладким интегрантом.

Предмет исследования.

Основные аналитические свойства K–субдифференцируемых отображений, основные аналитические свойства компактных субдифференциалов вариационных функционалов с субгладким интегрантом первого и второго порядка.

Методы исследования.

В данной работе применяются методы негладкого анализа, функционального анализа, вариационного исчисления, дифференциальных уравнений и бесконечномерного математического анализа.

В частности, методы негладкого анализа и бесконечномерного дифференциального исчисления применяются при построении развитого исчисления компактных субдифференциалов отображений векторного аргумента.

Методы функционального анализа применяются при построении функциональной базы, которая включает в себя элементы теории абстрактных нормированных конусов, общей теории сублинейных операторов и функционалов, теории сублинейных K–операторов и K– функционалов.

Методы вариационного исчисления и теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах применяются при исследовании аналога уравнения Эйлера-Лагранжа "включения Эйлера–Лагранжа", а также получении аналогов необходимого условия Лежандра и условий Лежандра–Якоби.

Научная новизна полученных результатов.

1. Впервые исследованы абстрактные банаховы конуса (вообще говоря, не вложенные ни в какое банахово пространство). В частности, получен результат о квазиполноте абстрактных банаховых конусов.

2. Впервые изучены сублинейные K–операторы в банаховых конусах. В частности, получена теорема о квазиполноте банахова конуса ограниченных K–операторов.

3. Впервые, на основе теории K–пределов и K–операторов, построена теория K–субдифференциалов первого порядка в банаховых конусах.

В частности, получены формула полного K–субдифференциала, формула K–субдифференциала композиции.

4. Впервые получены K–аналоги формулы конечных приращений и теоремы о среднем в банаховых конусах. В частности, эти результаты позволили показать, что в достаточно общей ситуации K– субдифференцируемость всюду на отрезке влечет почти всюду классическую дифференцируемость.

5. Впервые построена замкнутая теория K–субдифференциалов высших порядков в банаховых конусах.

В частности, получены K–аналоги ряда основных результатов классического анализа Фреше, от теоремы Юнга до формулы Тейлора и теории экстремумов.

6. Впервые получена оценка компактных субдифференциалов первого и второго порядка вариационного функционала с субгладким интегрантом.

7. Впервые получены субгладкие аналоги основной вариационной леммы и уравнения Эйлера–Лагранжа для основного вариационного функционала.

8. Впервые получены субгладкие аналоги простого и усиленного условий Лежандра, а также условий Лежандра–Якоби для основного вариационного функционала.

Практическое значение полученных результатов.

Диссертация имеет в основном теоретическое значение. Результаты диссертации развивают теорию компактных субдифференциалов для случая векторного аргумента, позволяют исследовать экстремальные вариационные задачи с субгладким интегрантом.

Результаты исследований могут быть использованы в актуальных задачах современного вариационного исчисления и оптимального управления, имеющих приложения в математической физике, в частности, для исследования субгладких задач механики и физики.

Личный вклад соискателя.

Работы [114], [115], [120], [122] опубликованные по теме диссертации, не имеют соавторов. Работы [85], [86], [167] вышли в соавторстве с научным руководителем И. В. Орловым. Результаты, опубликованные в работах [114], [115], [120], [122], получены соискателем самостоятельно. В работах [85], [86], [167] профессору И. В. Орлову принадлежит постановка задачи и общий план исследования, полученные результаты принадлежит соискателю.

Апробация результатов диссертации.

Результаты диссертации докладывались на Международной молодежной математической школе SOPAPH-2012 SMOOTHNESS, OSCILLATIONS

IN ANALYSIS WITH APPLICATIONS IN MATHEMATICALS PHYSICS

(Симферополь, Украина, 17–20 июня, 2012); Fourth International Conference for Young Mathematicians on Dierential Equations and Applications dedicated to Ya. B. Lopatinskii, (Dоnetsk, Ukraine, November 14 – 17, 2012); VIII международной научной конференции для молодых ученых Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях (Харьков, Украина, 17–28 апреля, 2013); International Conference Analysis and mathematical physics (Kharkiv, Ukraine, 24–28 June, 2013); International Conference Nonlinear partial dierential equations (Donetsk, Ukraine, September 9–14, 2013); XXII–XXIII, XXV Крымских осенних математических школах-симпозиумах: КРОМШКРОМШ-2012, КРОМШ-2014 (Ласпи, Судак, Крым, 2011–2012, 2014 г.г.); Крымской международной математической конференции (Судак, Украина, 22 сентября – 4 октября, 2013); XL–XLIII научных конференциях профессорско-преподавательского состава Таврического национального университета им. В. И. Вернадского (Симферополь, Крым, 2011–2014 г.г.);

семинарах кафедры алгебры и функционального анализа Таврического национального университета им. В. И. Вернадского.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в научных работах, из которых в изданиях, входящих в список специализированных научных изданий МОНУ ([85], [86], [114], [115], [120], [122]), публикаций в сборниках тезисов конференций ([87], [116]– [119], [121], [156], [169]).

ГЛАВА

–  –  –

История вариационного исчисления как раздел функционального анализа (см., например, [8], [10], [15], [22], [40], [45], [48], [49], [51], [54], [64], [72], [110], [113], [123], [129], [179], [182] ) насчитывает более трехсот лет. При этом интерес к вариационному исчислению со стороны самых различных приложений огромен (см., например, [5], [6], [18], [19], [30], [41], [52], [55], [66], [69], [71], [95], [105] – [107], [126], [132], [134], [158], [171], [180]).

Отметим классические курсы вариационного исчисления и теории оптимального управления Н. И. Ахиезера ([6]), И. М. Гельфанда ([25], [149]), Л. Э. Эльсгольца ([131]), В. М. Алексеева ([2], [3]), В. М. Тихомирова ([24], [108]), С. Ф. Фомина ([3]), М. 3. Згуровского и В. С. Мельника ([42]), В. Dacorogna ([141], [142]), М. И. Зеликина ([43], [44]), Ф. П. Васильева ([20], [21]), А. Д. Иоффе ([154]) так и большое количество современных работ А. А. Милютина, А. В. Дмитрука, Н. П. Осмоловского ([35]–[38], [69], [160]), Э. М. Галеева ([23], [24]), Е. А. Андрееву ([4]), В. И. Благодатских ([9]), А. В. Угланова ([112]).

Многие задачи современного вариационного исчисления и оптимального управления связаны с выпуклым и негладким анализом. Негладкие задачи впервые были поставлены и успешно исследованы российским математиком П. Л. Чебышёвым ([127]). Однако П. Л. Чебышёв использовал в своём исследовании только классические, хотя и очень оригинальные методы.

Первые “негладкие” методы исследования недифференцируемых функций появились в рамках выпуклого анализа (см., например, [47], [57], [65], [68], [73], [74], [88], [89], [90], [94], [130]), который послужил основой для формирования негладкого анализа.

В настоящее время, выпуклый анализ является хорошо развитой областью математики, имеющей многочисленные приложения (см., например, [42], [103], [136], [139], [147], [150], [161], [171], [172], [173], [179]).

Негладкий анализ, как раздел математики, изучающий недифференцируемые функции, в первую очередь в связи с теорией негладких экстремальных задач, сформировался во второй половине XX века под влияние работ В. Ф. Демьянова (см., например, [30]–[34], [143]– [145]), Б. Н. Пшеничного ([91], [92]), Ф. Кларка ([53], [140]) и многих других авторов.

В настоящее время имеется огромное число работ, посвящённых различным аспектам негладкого анализа (см., например, [42], [96], [104], [105], [106], [126]).

Отличительной особенностью негладкого анализа, по сравнению с классическим дифференциальным исчислением (см., например, [1], [50], [181]), является его тесная связь с теорией многозначных отображений (см., например, [95], [124], [125]).

Основными инструментами исследования в негладком анализе являются производная по направлениям и субдифференциал, а также их многочисленные обобщения (см., например, [7], [60], [138], [140], [154], [159]–[162]).

Понятие субдифференциала является базовым в современном выпуклом и негладком анализе ([32], [57] – [59], [62], [63], [150], [157], [174]).

Существует много различных определений субдифференциала (см., например, [35], [60] [138], [178] ), каждое из которых применимо в своей области.

Начиная с классического субдифференциала выпуклого функционала (описанного в известной монографиях Р. Рокафеллара ([94], [172], [173]) появились и продолжают появляться новые определения субдифференциалов, рассчитанные на применение к различным классам экстремальных и других негладких задач (такие, как известный субдифференциал Ф. Кларка ([31], [53], [134]), субдифференциал Б. Н. Пшеничного ([94], [172], [173]) и многие другие (см., например, [23], [21], [22], [19]). В большинстве своем это определения для отображений в евклидовых пространствах ([32], [57]), но имеются и более общие.

Субдифференциал выпуклой функции, описывает как локальные, так и глобальные свойства данной функции.

С одной стороны, с помощью субдифференциала можно вычислять производную по направлениям и направления спуска выпуклой функции, а с другой стороны, субдифференциал описывает множество линейных функций, опорных к данной выпуклой функции, которое даёт глобальную информацию о поведении рассматриваемой функции.

Негладкий анализ пошёл по пути обобщения субдифференциала выпуклой функции, на основе его локальных свойств, т. е. как инструмента, описывающего локальные свойства функции.

С целью применения к исследованию проблемы Радона – Никодима для интеграла Бохнера И. В. Орловым несколько лет назад был введен и в совместных работах с Ф. С. Стонякиным (см., например, [83], [97]–[102]) подробно изучен компактный субдифференциал (K–субдифференциал) для отображений вещественного аргумента в ЛВП.

В случае пространств Фреше K–субдифференциал оказался адекватным инструментом и позволил найти топологическое решение проблемы Радона

– Никодима (см. [84], [168]).

Естественным образом возник вопрос о переносе понятия на случай векторного аргумента. Вопрос диктуется не только внутренней логикой теории, но и соображением о приложениях в вариационном исчислении.

Оказалось, что аппарат K–субдифференциального исчисления в случае векторного аргумента оказался вполне адекватным задаче вычисления K–субдифференциала вариационного функционала с негладким (субгладким) интегрантом, как в общем случае, так и, например, в практически важных ситуациях модуля гладкого интегранта и т. п. В принципе, эти результаты поддаются переносу на случай вариационных функционалов в пространствах Соболева.

Например, в работах И. В. Орлова ([75] – [82], [163] – [166]), Е. В. Божонок ([11] – [14], [137]), Е. М. Кузьменко ([56]) исследуются вариационные задачи с негладким аргументом в пространствах Соболева.

В них доказаны аналоги классических необходимого условия Лежандра и достаточного условия Лежандра-Якоби для сильного K–экстремума вариационных функционалов одной и многих переменных в пространстве Соболева W2. Достаточное условие сильного K-экстремума в терминах гессиана подынтегральной функции обобщено на случай многих переменных.Эта теория получила довольно широкое развитие с точки зрения приложений.

Таким образом, вариационные задачи составляют важную часть вариационного исчисления (см., например, [26], [39], [42], [46], [52], [93], [171], [183]).

В наших работах ([85] – [87], [114] – [122], [156], [167], [169]) понятие компактного субдифференциала, введенного И. В. Орловым и Ф. С. Стонякиным (см., например, [83], [97]–[102]), на случай векторного аргумента.

Такой переход приводит нас от K–субдифференциала как компактного выпуклого множества к многозначному субаддитивному оператору с компактными выпуклыми значениями (K–оператору). При всем богатстве потока работ по мультиоператорам (см., например, [29], [58], [61], [63], [95], [146], [176]), этот объект не изучался.

Ограниченные K–операторы образуют не банахово пространство, а банахов конус, который не содержится ни в каком банаховом пространстве.

Теория абстрактных локально выпуклых конусов возникла сравнительно недавно (см., например, [16], [17], [28], [27], [62], [128],[133], [135], [148], [151], [152], [153], [155], [170], [175], [177]), а описание абстрактных нормированных конусов также оказалось новой задачей.

Так, например, в наших работах ([85], [86], [114]) введены общие понятия нормированного и банахового конусов.

Для заданных нормированных конусов введено понятие K–оператора.

Введено понятие нормы K–сублинейного оператора и исследован вопрос о непрерывности ограниченных по норме K–операторов.

На базе теории абстрактных конусов и K–операторов, построена замкнутая теория K–субдифференциалов первого и высших порядков в банаховых конусах. Изучены основные свойства и приложения.

Получены K–аналоги формулы конечных приращений и теоремы о среднем в банаховых конусах.

Загрузка...

В частности, получены K–аналоги ряда основных результатов классического анализа Фреше, от теоремы Юнга до формулы Тейлора и теории экстремумов.

Как приложения, получены субгладкие аналоги основной вариационной леммы и уравнения Эйлера–Лагранжа для основного вариационного функционала, а также субгладкие аналоги простого и усиленного условий Лежандра, а также условий Лежандра–Якоби для основного вариационного функционала.

Таким образом, замкнутая теория K–субдифференциалов первого и высших порядков для случая векторного аргумента, которая была построена в наших работах ([85]–[87], [114]–[118], [156], [167], [169]), включает в себя приложения к экстремальным вариационным задачам с негладким интегрантом ([119]–[122]), позволяющие исследовать задачи физики и механики (см., например, [67], [109], [111]).

ГЛАВА Сублинейные операторы в нормированных конусах

2.0 Введение. Предварительные сведения С целью применения к исследованию проблемы Радона Никодима для интеграла Бохнера И. В. Орловым и Ф. С. Стонякиным был введен и подробно изучен компактный субдифференциал (K–субдифференциал) для отображений вещественного аргумента в ЛВП (см., например, [83], [97]–[102], [168]).

В случае пространств Фреше K–субдифференциал оказался адекватным инструментом и позволил найти топологическое решение проблемы Радона

– Никодима.

Таким образом возник вопрос о переносе понятия на случай векторного аргумента. Вопрос диктуется не только внутренней логикой теории, но и соображением о приложениях в вариационном исчислении. Приложения субдифференциалов к вариационным задачам с негладким интегрантом составляют неотъемлемую часть современного негладкого анализа.

Движение по намеченному пути сразу же приводит нас от K–субдифференциала как компактного выпуклого множества (случай фиксированного направления) к многозначному субаддитивному оператору с компактными выпуклыми значениями (K–оператору).

Сильный K–субдифференциал отображения векторного аргумента оказывается ограниченным сублинейным многозначным оператором с компактными выпуклыми значениями (K–оператором).

Таким образом, возникает потребность хотя бы в минимальном аппарате теории K–операторов.

Ограниченные K–операторы образуют не банахово пространство, а банахов конус, который не содержится ни в каком банаховом пространстве.

Теория абстрактных локально выпуклых конусов возникла сравнительно недавно, а описание абстрактных нормированных конусов также оказалось новой задачей.

Данная глава посвящена построение теории сублинейных и K–сублинейных операторов в нормированных конусах. Глава состоит из введения и трех подразделов.

Первый подраздел содержит общую теорию абстрактных нормированных конусов: вводится определение абстрактного и нормированного конусов, строится локально выпуклая конус-топология, доказана квазиполнота банаховых абстрактных конусов.

В п. 2.2 строится теория сублинейных операторов в нормированных конусах, а также бисублинейных операторов. Исследуются основные свойства, в том числе получен аналог классической изометрии между пространством линейных и билинейных ограниченных операторов.

В п 2.3 рассматривается частный случай сублинейных операторов сублинейные K–операторы. Построена теория сублинейных K–операторов, а также K–функционалов и бисублинейных K–функционалов.

2.1 Абстрактные нормированные конуса и их свойства Вначале дадим определение выпуклого конуса.

Определение 2.1.1. Конусом (выпуклым) назовем некоторое множество векторов X = {x}, снабженное операциями сложения векторов и умножения на неотрицательные скаляры.

При этом операции обладают следующими свойствами:

–  –  –

Замечание 2.1.2. По известному критерию ( cancellation law ), выпуклый конус X может быть изоморфно вложен в некоторое векторное пространство тогда и только тогда, когда

–  –  –

для любых x, y, z X.

Простейший пример абстрактного конуса (не удовлетворяющего этому критерию) - конус всех подмножеств векторного пространства.

Определение 2.1.3. Выпуклый конус X назовем нормированным, если для любого его элемента x X определена неотрицательная величина (конус– норма) x, обладающая следующими свойствами:

–  –  –

г) Квазиполнота: X квазиполный конус, если любая квазифундаментальная последовательность в X сходится. Квазиполный нормированный конус будем называть банаховым конусом.

д) Квазиметрика: если y = x + h, то полагаем d(x, y) = h ;

e) Ограниченность: множество B X ограничено, если

–  –  –

Замечание 2.1.5. Конус–норма (как и вообще конус–топология) порождает не классическую равномерность в X, а лишь направленную квазиравномерность.

В частности, квазиметрика, вообще говоря, не симметрична: если существует d(x, y), то d(y, x) может не существовать.

Определение 2.1.6. Пусть (X, · ) нормированный конус. Обозначим через XK множество всех компактных выпуклых подмножеств X. Нетрудно проверить, что XK образует выпуклый конус относительно поэлементного сложения множеств и умножения на неотрицательные скаляры.

Нулем в XK является множество {0}.

Замечание 2.1.7. 1) В конусе XK возможно, например, (в случае векторного пространства X) умножение и на отрицательные скаляры, однако (1) · C не есть вообще говоря противоположный элемент к C.

2) Конус XK индуктивно упорядочен отношением вложения.

3) Вообще говоря (при X R) конус XK не удовлетворяет "cancellation law".

Замечание 2.1.8. Легко видеть, что C обладает всеми свойствами конуснормы и согласована с отношением порядка в XK.

Покажем теперь, что квазиполнота конуса X влечет квазиполноту и конуса XK.

–  –  –

В общем случае также, индуктивный порядок в XK, определяемый вложением, не индуцирует возможный исходный порядок в X.

Замечание 2.1.13. В случае индуктивно упорядоченного конуса X, будем говорить, что конус–норма в X согласована с порядком, если

–  –  –

2.2 Сублинейные операторы в нормированных конусах 2.2.1 Сублинейные операторы и их свойства Дадим определение сублинейного оператора с компактными выпуклыми значениями.

–  –  –

Определение 2.2.2. Пусть, в условиях определения 2.2.1, F = R. Тогда сублинейный оператор f : E R назовем сублинейным функционалом.

В этом случае условия (i)–(ii) перепишутся в виде:

(iv) f (h1 + h2 ) f (h1 ) + f (h2 ); f (h) = · f (h) ( 0).

Соответственно, для надлинейного функционала первое из неравенств (iv) заменяется неравенством:

f (h1 + h2 ) f (h1 ) + f (h2 ).

(v) Замечание 2.2.3. 1) Иногда в определении сублинейного оператора равенство (ii) заменяется неравенством

–  –  –

У нас не возникнет потребность в таком ослаблении условия, т. к. K–субдифференциал всегда обладает свойством (ii).

2) Очевидно, сублинейность функционала f равносильна надлинейности функционала (f ). Простейшим примером сублинейного функционала в нормированном конусе служит сама норма:

–  –  –

В случае векторного пространства E легко описать связь сублинейности и линейности функционалов.

Теорема 2.2.

4. Пусть E векторное вещественное пространство, f :ER сублинейный (соответственно надлинейный) функционал.

Тогда f линеен в том и только в том случае, если

–  –  –

Кроме того, позитивная однородность f вместе с равенством (2.2) влечет полную вещественную однородность f. Таким образом, функционал f линеен.

Результат переносится и на сублинейные операторы A : E F, если F упорядоченное векторное пространство.

Введем теперь для произвольных отображений в нормированных конусах понятия непрерывности и полунепрерывности.

Определение 2.2.5. Пусть E, F нормированные конусы, отображение : E F определено в некоторой окрестности U (x) точки x E. Назовем непрерывным в точке x, если

–  –  –

Замечание 2.2.6. Одновременная полунепрерывность сверху и снизу равносильна полной непрерывности лишь в случае, когда F векторное пространство (в частности, для функционалов). В общем же случае мы можем только утверждать, что из полной непрерывности следует полунепрерывность сверху. Возможно, здесь следует ввести ко– непрерывность с условием: (x) = (x + h) + y, y.

–  –  –

Замечание 2.2.9. Свойства сублинейной операторной нормы позволяют ввести нормированный операторный конус Lsub (E; F ) ограниченных сублинейных операторов A : E F. Конус Lsub (E; F ) индуктивно упорядочен отношением

–  –  –

Важным обстоятельством является то, что, в случае банахова конуса F, конус Lsub (E; F ) также банахов.

Теорема 2.2.

10. Пусть E и F нормированные конусы, F индуктивно упорядочен. Тогда конус Lsub (E; F ) также нормированный. Если, кроме того, конус F банахов, то Lsub (E; F ) также банахов конус.

Доказательство. Очевидно, сублинейная операторная норма создает в Lsub (E; F ) структуру нормированного конуса в соответствии с определением 2.2.7. Пусть теперь F банахов конус.

Докажем, что конус Lsub (E; F ) также банахов.

Пусть последовательность {An } n=1 квазифундаментальна в конусе Lsub (E; F ). Следовательно, согласно определению 2.1.4,

–  –  –

в Lsub (E; F ) при n.

Таким образом, нормированный конус Lsub (E; F ) квазиполный, т. е.

Lsub (E; F ) банахов конус.

Выясним связь ограниченности сублинейного оператора с его непрерывностью. Она отличается от классического линейного случая.

Теорема 2.2.

11. Для сублинейного оператора A : E F следующие условия равносильны:

(i) A ;

(ii) A непрерывен в нуле;

(iii) A равномерно полунепрерывен сверху на E.

Доказательство.

1) Если A ограничен по норме, то из неравенства Ah A · h немедленно следует непрерывность A в нуле.

2) Пусть A непрерывен в нуле. Тогда

–  –  –

т.е A равномерно субнепрерывен всюду на E.

3) Пусть A равномерно субнепрерывен всюду на E. Нетрудно видеть, что при этом A непрерывен в нуле, т.е. выполнено условие (2.5). Отсюда получаем:

–  –  –

т.е. A ограничен по норме.

Замечание 2.2.12. По аналогии с линейным случаем, нетрудно доказать, что все сублинейные функционалы f : Rn R автоматически ограничены.

Перейдем к общим свойствам сублинейных ограниченных операторов.

Вначале рассмотрим вопрос о сублинейной композиции и сублинейных операторных матрицах.

Теорема 2.2.

13. Пусть E, F, G нормированные конусы, причем F и G индуктивно упорядочены. Если

–  –  –

Доказательство. Сублинейность B · A очевидна. Неравенство (2.6) проверяется по той же схеме, что и для линейных ограниченных операторов в нормированных пространствах.

–  –  –

m F = Fi нормированных конусов определяются аналогично случаю i=1 нормированных пространств. Вначале рассмотрим вопрос о разложении сублинейного оператора в прямую сумму; он отличается от случая нормированных пространств возможным отсутствием такого равенства.

–  –  –

2.2.2 Бисублинейные операторы и их свойства Введем теперь бисублинейные операторы и выпишем аналог известного изоморфизма между пространствами линейных и билинейных операторов.

Определение 2.2.17. Пусть E1, E2, F выпуклые конусы, F индуктивно упорядочен. Оператор B : E1 E2 F назовем бисублинейным, если он сублинеен по каждой переменной в отдельности, т. е.

–  –  –

б) B непрерывен в нуле;

в) B равномерно полунепрерывен сверху на E1 E2.

Замечание 2.2.20. Свойства нормы бисублинейного оператора позволяют, по аналогии с сублинейным случаем, ввести нормированный операторный конус, индуктивно упорядоченный отношением

–  –  –

Обозначим его Lsub (E1, E2 ; F ).

Теорема 2.2.

21. Если E1, E2 ; F нормированные конусы, F индуктивно упорядочен, то конус Lsub (E1, E2 ; F ) также нормированный и индуктивно упорядоченный. При этом, если F –– банахов конус, то конус Lsub (E1, E2 ; F ) также банахов.

Наконец, справедлив аналог классической изометрии между пространством линейных и билинейных ограниченных операторов.

–  –  –

Замечание 2.2.23. Нетрудно аналогичным образом ввести понятие полисублинейного оператора P : E1... En F, его нормы, а также нормированный упорядоченный конус полисублинейных ограниченных операторов Lsub (E1,...En ; F ). Аналог изометрии (2.7) имеет вид:

–  –  –

Опишем важный тип сублинейных операторов, которые возникают далее в работе при общем определении компактных субдифференциалов.

Определение 2.3.1. Пусть E выпуклый конус, F нормированный конус, FK нормированный упорядоченный конус выпуклых компактных подмножеств F (см. определение 2.1.6). Сублинейный оператор A : E FK назовем сублинейным K–оператором, или, коротко, K–оператором.

Сублинейный оператор f : E RK назовем сублинейным K–функционалом, или, коротко, K–функционалом.

В случае нормированного конуса E, банахов конус сублинейных ограниченных K–операторов Lsub (E; FK ) будем более коротко обозначать LK (E; F ); банахов конус сублинейных ограниченных K-функционалов Lsub (E; RK ) = LK (E; R) более коротко обозначим EK.

Замечание 2.3.2. Если F нормированное пространство, то для K–операторов из LK (E; F ) можно ввести умножение на отрицательные скаляры:

–  –  –

Таким образом, f надлинеен, f сублинеен. Обратное утверждение проверяется аналогично.

2. Если f ограничен по норме, то согласно теореме 2.2.11, f равномерно полунепрерывен сверху на E, т. е.

–  –  –

Замечание 2.3.8. Нетрудно аналогичным образом ввести бисублинейные K–операторы B : E1 E2 FK. В этом случае каноническая изометрия между упорядоченными конусами бисублинейных и сублинейных операторов (2.7) принимает вид:

–  –  –

Перейдем к вопросу о матрице сублинейных K–операторов.

Вначале рассмотрим вопрос о разложении сублинейного K–оператора в прямую сумму; здесь сохраняется результат предложения 2.2.14.

–  –  –

Опишем детально частный случай K–матриц для сублинейных K–функционалов и K–операторов конечного ранга. Вначале опишем разложение в прямую сумму K–функционалов.

–  –  –

Замечание 2.3.15. Приведем полезную для приложений параметрическую модель K–матрицы (в случае K–операторов конечного ранга).

Введём "нижнюю" и "верхнюю" матрицы K–оператора A:

–  –  –

2.3.2 Бисублинейные K–функционалы и их свойства Дадим определение бисублинейного K–оператора.

Теорема 2.3.

16. Пусть E1, E2 – выпуклые конусы, : E1 E2 RK.

Тогда бисублинейный K–функционал в том и только в том случае, если (h1, h2 ) = [(h1, h2 ); (h1, h2 )], где : E1 E2 R бинадлинейный функционал, : E1 E2 R бисублинейный функционал, (h1, h2 ) (h1, h2 ).

При этом, если E1, E2 нормированные конусы, то K–функционал = [; ] ограничен в том и только в том случае, когда полунепрерывен снизу, полунепрерывен сверху на E1 E2.

Рассматривая, по аналогии с сублинейным случаем, бисублинейный K–функционал

–  –  –

Выводы. Введены и исследованы нормированные и банаховые выпуклые конусы. Исследованы общие свойства сублинейных и бисублинейных операторов, действующих в нормированных конусах.

Введены и исследованы сублинейные и бисублинейные K–операторы, действующие в банаховых конусах. В частности, исследованы сублинейные и бисублинейные K-функционалы.

42 ГЛАВА 3

–  –  –

3.0 Введение Понятие компактного субдифференциала, введенное И. В. Орловым и Ф. С. Стонякиным ([83], [84], [97]–[102], [168]), для случая отображения скалярного аргумента позволило решить классическую проблему Радона– Никодима для интеграла Бохнера. Перенос K–субдифференциала на случай векторного аргумента позволяет исследовать вариационные экстремальные задачи с негладким интегрантом.

Следуя классической схеме Гато-Адамара-Фреше, в данной главе построено K–субдифференциальное исчисление первого порядка.

При этом приходим к следующей трансформации основных объектов:

(i) нормированное пространство – нормированный конус;

(ii) линейный ограниченный оператор – сублинейный ограниченный K–оператор;

(iii) дифференциал Фреше – K–субдифференциал Фреше.

Здесь, помимо необходимого технического аппарата, описан удобный для приложений новый класс субгладких отображений, которые заведомо K–субдифференцируемы.

Установлено также, что любое K–субдифференцируемое на отрезке отображение почти всюду дифференцируемо в обычном смысле.

Примененный подход позволяет дать индуктивное определение K–субдифференциалов второго и высших порядков, что позволяет построить K–субдифференциальное исчисление высшего порядка.

Получены аналоги основных результатов классического анализа Фреше, от теоремы Юнга до формулы Тейлора и теории экстремумов (включая достаточные условия).

Глава состоит из введения и семи основных подразделов. В первом подразделе приведен краткий обзор теории K–субдифференциалов для отображений скалярного аргумента с приложениями к интегралу Бохнера, которая была построена и подробно изучена в работах И. В. Орлова и Ф. С. Стонякина ([83], [84], [97]–[102]).

Во втором подразделе вводятся K–пределы (для нормированных конусов) убывающих систем замкнутых выпуклых подмножеств, посредством которых определяются в дальнейшем K–субдифференциалы. К известным свойствам добавлен новый "признак Вейерштрасса" для K–пределов, фундаментальный для дальнейшего.

В п 3.3. переходим к определению K–субдифференциалов отображений в банаховых конусах, следуя классической схеме гладкого анализа: K–субдифференциал по направлению (компактное выпуклое множество) слабый K–субдифференциал (сублинейный K–оператор) K–субдифференциал Гато (ограниченный K–оператор) K–субдифференциал Фреше (плюс равномерная малость остаточного члена).

Отметим важную роль критериев K–субдифференцируемости. Также в нем содержится основные теоремы о K–субдифференциалах.

Следующие три пункта посвящены аналогам классических результатов:

получена теорема о среднем для K–субдифференцируемых отображений, исследовано понятия K–субдифференцируемости и субгладкости.

Рассмотрена связь K–субдифференцируемости на отрезке с обычной дифференцируемостью.

Примененный подход позволяет без труда дать индуктивное определение K–субдифференциалов второго и высших порядков. Раздел 3.7 посвящен K–субдифференциальному исчислению высшего порядка. Получены аналоги основных результатов классического анализа Фреше, от теоремы Юнга до формулы Тейлора и теории экстремумов.

В случае нормированных пространств K–субдифференцируемость n-го порядка влечет обычную дифференцируемость (n 1)-го порядка, что существенно упрощает приложения.

Понятие субгладкости распространяется на случай n-го порядка; такие отображения заведомо n раз K–субдифференцируемы.

–  –  –

Для начала приведем краткий обзор теории K–субдифференциалов для отображений скалярного аргумента (см., например, [83], [97]–[102]).

Далее f : I = [a; b] R.

Введем вспомогательное определение K–предела.

–  –  –

Теорема 3.1.5. Справедливы следующие утверждения:

a) (f K–субдифференцируемо в точке x) = (f непрерывно в точке x);

б) K (f1 + f2 )(x) K f1 (x) + K f2 (x); (субаддитивность)

–  –  –

В случае, когда одно из отображений дифференцируемо в обычном смысле, включения в пунктах (б), (д), (е), превращаются в точные равенства.

Приведем теорему о среднем для K–субдифференциалов.

Теорема 3.1.

6. ([168]) Если отображение f непрерывно на [a; b] и K–субдифференцируемо на (a; b), то

–  –  –

Важную информацию о связи K–субдифференцируемости почти всюду с обычной дифференцируемостью почти всюду дает следующий результат.

пространство Фреше, f : I E. Если Теорема 3.1.

7. ([83]) Пусть E отображение f K–субдифференцируемо почти всюду на I, и при этом f почти всюду сепарабельнозначно на I, то f дифференцируемо в обычном смысле почти всюду на I.

В частности, утверждение теоремы справедливо, если f непрерывно и почти всюду K–субдифференцируемо на I (и тем более, если f всюду K–субдифференцируемо на I).

Наконец, приведем одно из приложений теории K–субдифференциалов к интегралу Бохнера. Известна так называемая проблема Радона–Никодима, состоящая в том, что (в отличие от скалярного случая) не все сильно абсолютно непрерывные отображения f : I E (при dim E = ) почти всюду дифференцируемы.

–  –  –

если U (0) E U 0 (0 U ) = (B B + U ). (3.2) Таким образом, K–сходимость множеств B, в рамках определения 3.2.1 можно охарактеризовать как равномерное внешнее топологическое стягивание множеств B к их компактному пересечению.

Перейдем к простейшим свойствам K–пределов. Следующие два свойства легко следуют из определения и не используют в доказательстве компактность K–предела.

Предложение 3.2.2. Пусть, в условиях определения 3.2.1, существует

–  –  –

Для проверки обратного включения воспользуемся свойством из определения 3.2.1. Для заданной окрестности нуля U = U (0) E выберем такую окрестность нуля U = U (0) E и подходящее U, чтобы U +U U и выполнялось:

–  –  –

Наконец, справедлив следующий важный критерий K–сходимости, который, по аналогии с известным признаком Вейерштрасса, назовем признаком Вейерштрасса для K–пределов.

Теорема 3.2.

6. В условиях и обозначениях определения 3.2.1, K–предел K- lim B существует тогда и только тогда, когда найдется такой +0 выпуклый компакт B E, что

–  –  –

Доказательство. Необходимость. Пусть B= K- lim B.

Тогда, подставляя B = B во второе условие из определения 3.2.1, мы сразу же приходим к условию (3.4).

Достаточность. Пусть (3.4) выполнено. Тогда B = B компактно,

–  –  –

Допустим, что B = K- lim B, т.е. условие (3.2) из определения 3.2.1 не выполняется. Следовательно, существует такая открытая окрестность

U0 (0) E и такая последовательность n 0, что:

–  –  –

В случае, когда F нормированное пространство, выражение под знаком K–предела в (3.6) можно выразить в более привычной форме, через разностные отношения:

–  –  –

Заметим, что если конус F не погружается в векторное пространство, то в (3.6), при каждом фиксированном t 0, Y определяется, вообще говоря, не единственным образом.

Приведем некоторые элементарные свойства K–субдифференциалов по направлению.

Предложение 3.3.2. Справедливы соотношения:

–  –  –

Выделим важный случай K–субдифференцирования функционала f : E R. Здесь можно дать простую формулу для вычисления K f (x, h).

Теорема 3.3.

5. Функционал f : E R K–субдифференцируем в точке x по направлению h тогда и только тогда, когда существуют конечные верхняя и нижняя производные f по направлению h в этой точке: f (x, h) и f (x, h). При этом имеет место равенство:

–  –  –

Определение 3.3.10. Будем говорить, что отображение f K–субдифференцируемо по Гато в точке x, если f слабо K–субдифференцируемо в этой точке и слабый K–субдифференциал K f (x) ограничен (или, что равносильно, равномерно полунепрерывен сверху на E).

В этом случае сублинейный ограниченный оператор K f (x) назовем K–субдифференциалом Гато отображения f в точке x.

Определение 3.3.11. Будем говорить, что отображение f K–субдифференцируемо по Фреше (или сильно K–субдифференцируемо) в точке x, если f K–субдифференцируемо по Гато в этой точке, и сходимость в K–пределе <

–  –  –

равномерна по всем направлениям h, 0 h 1.

В этом случае K–оператор K f (x) назовем K–субдифференциалом Фреше (или сильным K–субдифференциалом) отображения f в точке x.

В случае нормированного пространства F равенство (3.9) принимает вид:

–  –  –

Приведем теперь критерии для всех типов K–субдифференцируемости в терминах малости остаточного члена (доказательство опирается на признак Вейерштрасса для K–пределов). С этой целью введем понятие многозначного малого отображения.

Определение 3.3.12. Обозначим через FB нормированный выпуклый конус всех замкнутых ограниченных выпуклых подмножеств F с суммой (B1 + B2 ) и с нормой B = sup y.

yB Отображение : R U (0) FB назовем малым (в нуле), если

–  –  –

Примем обычную запись: (t) 0 при t 0.

Теорема 3.3.

13. Отображение f слабо K–субдифференцируемо в точке x в том и только в том случае, если найдутся сублинейный K–оператор

B : E FK и отображение : E FB, такие, что:

–  –  –

причем оператор Bh = K f (x)h сублинейный по h. Так как при этом h () можно уменьшать, то без ограничения общности можно считать, что h () строго убывает к нулю при 0. Тогда существует обратная функция = h () (также строго убывающая к нулю при 0), для которой

–  –  –

Теорема 3.3.

14. Отображение f K–субдифференцируемо по Гато в точке x в том и только в том случае, если выполнена оценка (3.10), где B LK (E; F ).

Доказательство. Если (3.10) выполнено, то по теореме 3.3.13 :

–  –  –

откуда A B, то есть A – ограничен. Таким образом, отображение f K–субдифференцируемо по Гато в точке x. Обратно, если f K–субдифференцируемо по Гато в точке x, подставим в (3.10)

–  –  –

Отметим некоторые свойства сильных K–субдифференциалов, непосредственно вытекающие из определения и критерия 3.3.15. Прежде всего, это очевидная связь между K–субдифференцируемостью и непрерывностью.

Теорема 3.3.

16. Если отображение f сильно K–субдифференцируемо в точке x, то f непрерывно в этой точке.

Далее, в случае нормированных пространств, очевидно, K f (x) обобщение производной Фреше. Менее очевидно, что существует и обратная связь.

Теорема 3.3.

17. Пусть E, F нормированные пространства,

–  –  –

Доказательство. 1. Очевидно, существование f (x, h) влечет равенство K f (x; h) = f (x, h), так как определение одноточечного K–предела сводится к обычному условию стягивания.



Pages:   || 2 | 3 |
 
Похожие работы:

«ЗАХАРОВ ФЁДОР НИКОЛАЕВИЧ ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ УКВ В СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНОЙ ТРОПОСФЕРЕ НАД МОРСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ Специальность 01.04.03 – Радиофизика ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата технических наук Научный руководитель доктор технических...»

«Минаков Дмитрий Вячеславович РАСЧЕТ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ПЛОТНОЙ ПЛАЗМЫ МЕТАЛЛОВ МЕТОДОМ ФУНКЦИОНАЛА ПЛОТНОСТИ И КВАНТОВОЙ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ 01.04.08 – физика плазмы ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель к. ф.-м. н. Левашов Павел Ремирович Москва – 2015 Содержание Введение......................»

«Чмыхова Наталья Александровна МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ РАВНОВЕСНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНЫХ ЛОВУШКАХ – ГАЛАТЕЯХ 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель – доктор физико-математических наук профессор Брушлинский Константин Владимирович Москва – 20...»

«ЧИЯНОВА АНАСТАСИЯ ИВАНОВНА ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ МОДИФИЦИРОВАНИЯ ПОРОШКОВЫХ ЦИНКОВЫХ ЭЛЕКТРОДОВ Специальность 02.00.04 – Физическая химия (технические науки) Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук Научный руководитель: кандидат технических наук, доцент Бачаев Александр Андреевич Нижний Новгород – 2015 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ Глава 1. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР 8 1.1 Катодные...»

«САВЕЛЬЕВ Денис Игоревич ГИДРОГЕОЛОГИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ МЕРОПРИЯТИЙ ПО ПРЕДОТВРАЩЕНИЮ НЕГАТИВНЫХ ПОСЛЕДСТВИЙ ЗАТОПЛЕНИЯ УГОЛЬНЫХ ШАХТ Специальность 25.00.16 – Горнопромышленная и нефтегазопромысловая геология, геофизика, маркшейдерское дело и геометрия недр Диссертация...»

«ПАНЧЕНКО Алексей Викторович МАРКШЕЙДЕРСКАЯ ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ КРИВОЛИНЕЙНОГО В ПЛАНЕ БОРТА КАРЬЕРА Специальность 25.00.16 – Горнопромышленная и нефтегазопромысловая геология, геофизика, маркшейдерское дело и геометрия недр Научный руководитель: доктор технических...»

«АНУЧИН СЕРГЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ КВАРЦЕВОЙ КЕРАМИКИ ПРИ ИНТЕНСИВНЫХ ТЕПЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ 01.04.07 – Физика конденсированного состояния ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель – д.т.н., профессор Резник С.В. Обнинск – ОГЛАВЛЕНИЕ Стр. Список...»

«Семиков Сергей Александрович Методы экспериментальной проверки баллистической теории света 01.04.03 – Радиофизика ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель д. ф.-м. н., проф. Бакунов Михаил Иванович Нижний Новгород – 2015 Содержание ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1....»

«ГУРИН Григорий Владимирович СПЕКТРАЛЬНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ВЫЗВАННОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ ВКРАПЛЕННЫХ РУД Специальность 25.00.10 – Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых Диссертация на соискание ученой степени кандидата геолого-минералогических наук Научный руководитель: д.г.-м.н., проф. К.В. Титов Санкт-Петербург –...»

«Нажмудинов Рамазан Магомедшапиевич ОРИЕНТАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ В ПОЛЯРИЗАЦИОННОМ ТОРМОЗНОМ ИЗЛУЧЕНИИ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭЛЕКТРОНОВ В ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ СРЕДАХ Специальность 01.04.07 — Физика конденсированного состояния ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических...»

«ЧАН ВАН ХАНЬ СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОМЫШЛЕННЫХ БОРТОВЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ СЕТЕВОЙ ИНФОРМАЦИОННОЙ СРЕДЫ Специальность 05.13.01 – «Системный анализ управление и обработка информации» ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата технических наук Научный руководитель: д.т.н., профессор Нгуен Куанг Тхыонг Москва 2015...»

«ВОРОНЦОВА ЕВГЕНИЯ АЛЕКСЕЕВНА МЕТОД ОТДЕЛЯЮЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ОТСЕЧЕНИЯМИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ЗАДАЧАХ АНАЛИЗА ДАННЫХ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Научный...»

«ЕМЕЛЬЯНОВ НИКИТА АЛЕКСАНДРОВИЧ Структура и диэлектрические свойства наночастиц BaTiO3 c модифицированной поверхностью и композитного материала на их основе Специальность 01.04.07 – физика конденсированного состояния ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель: доктор технических наук, профессор, Заслуженный деятель науки РФ Сизов А.С. Курск – 2015...»

«Шахсинов Гаджи Шабанович НЕСТАЦИОНАРНЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЕМ МЕТАСТАБИЛЬНЫХ АТОМОВ ИНЕРТНЫХ ГАЗОВ В ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛНОВОДАХ 01.04.04 – физическая электроника ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель: д. ф.-м. н., профессор Ашурбеков Назир Ашурбекович Научный консультант: д. ф.-м. н., профессор Иминов Кади Османович Махачкала – 2015 Оглавление ВВЕДЕНИЕ...»

«ДЕТУШЕВ ИВАН ВАСИЛЬЕВИЧ ФУНДАМЕНТАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ СТУДЕНТОВ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ВУЗОВ НА ОСНОВЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ 13.00.02 – теория и методика обучения и воспитания (математика) Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук Научный руководитель: доктор...»

«БОЯРЧЕНКО ОЛЬГА ДМИТРИЕВНА ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРЫ ПЕРЕХОДНЫХ ЗОН В МНОГОСЛОЙНЫХ И ГРАДИЕНТНЫХ СВС-МАТЕРИАЛАХ Специальность 01.04.17 – Химическая физика, горение и взрыв, физика экстремальных состояний вещества Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук Научный руководитель: кандидат технических наук А....»

«ЕМЕЛЬЯНОВ НИКИТА АЛЕКСАНДРОВИЧ Структура и диэлектрические свойства наночастиц BaTiO3 c модифицированной поверхностью и композитного материала на их основе Специальность 01.04.07 – физика конденсированного состояния ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель: доктор технических наук, профессор, Заслуженный деятель науки РФ Сизов А.С. Курск – 2015...»

«ДАУ Ши Хьеу ИССЛЕДОВАНИЯ ОСОБЕННОСТЕЙ ЗАРЯДОВОГО ТРАНСПОРТА И МАГНИТНЫХ СВОЙСТВ НИЗКОРАЗМЕРНОГО АНТИФЕРРОМАГНЕТИКА LiCu2O2, СВЯЗАННЫХ С ЕГО ДОПИРОВАНИЕМ Специальность 01.04.07 Физика конденсированного состояния Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук МОСКВА 2015 год Оглавление ВВЕДЕНИЕ Глава...»

«Чирская Наталья Павловна Математическое моделирование взаимодействия космических излучений с гетерогенными микроструктурами Специальность: 01.04.20 – физика пучков заряженных частиц и ускорительная техника 01.04.16 – физика атомного ядра и элементарных частиц диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель: доктор...»

«Абрамова Полина Владимировна ВЛИЯНИЕ ОБЪЕМНОЙ СТРУКТУРЫ И СОСТОЯНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ СЛОЕВ ТИТАНА, НИКЕЛЯ И НИКЕЛИДА ТИТАНА НА ЗАКОНОМЕРНОСТИ ПРОТЕКАНИЯ ПРОЦЕССОВ ИХ ОКИСЛЕНИЯ Специальность 02.00.04 – физическая химия...»









 
2016 www.konf.x-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, диссертации, конференции»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.