WWW.KONF.X-PDF.RU
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Авторефераты, диссертации, конференции
 

Pages:   || 2 | 3 |

«РАСЧЕТ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ПЛОТНОЙ ПЛАЗМЫ МЕТАЛЛОВ МЕТОДОМ ФУНКЦИОНАЛА ПЛОТНОСТИ И КВАНТОВОЙ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ ...»

-- [ Страница 1 ] --

Федеральное государственное бюджетное учреждение наук

и

Объединенный институт высоких температур РАН

На правах рукописи

Минаков Дмитрий Вячеславович

РАСЧЕТ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ

СВОЙСТВ ПЛОТНОЙ ПЛАЗМЫ

МЕТАЛЛОВ МЕТОДОМ ФУНКЦИОНАЛА

ПЛОТНОСТИ И КВАНТОВОЙ



МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ

01.04.08 – физика плазмы

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель к. ф.-м. н.

Левашов Павел Ремирович Москва – 2015 Содержание Введение................................... 4 Обзор литературы............................. 11

1. Метод функционала плотности................... 11

2. Псевдопотенциальный подход................... 18

3. Метод квантовой молекулярной динамики............ 24 Глава 1. Расчет свойств электронной подсистемы в псевдопо­ тенциальном подходе.......................... 30

1.1. Исследование границ применимости псевдопотенциалов.... 30

1.2. Электронная теплоемкость..................... 37

1.3. Тепловое давление электронной подсистемы........... 40

1.4. Расчет плотности состояний электронов из многочастичного расчета................................ 41

1.5. Оценка степени ионизации плазмы ударно-сжатых металлов.. 46

1.6. Выводы к первой главе....................... 49 Глава 2. Расчеты теплофизических свойств в квазигармониче­ ском приближении........................... 52

2.1. Расчеты фононных свойств..................... 52

2.2. Расчеты кривых плавления металлов с использованием крите­ рия Линдемана............................ 60

2.3. Влияние температуры электронной подсистемы на температу­ ру плавления металлов....................... 65

2.4. Выводы ко второй главе...................... 69 Глава 3. Квантовые молекулярно-динамические расчеты ударно­ волновых экспериментов....................... 73

3.1. Параметры квантового молекулярно-динамического расчета.. 73

3.2. Расчеты сплошных, пористых и повторных ударных адиабат Гюгонио............................... 79

3.3. Реконструкция кривых изоэнтропического расширения..... 88

3.4. Выводы к третьей главе....................... 100 Заключение.................................. 101 Приложение А. Давление и внутренняя энергия в алюминии, полученные из первопринципного квантового молекулярно­ динамического расчета........................ 102

–  –  –

Актуальность темы. Плотная плазма металлов образуется при воздей­ ствии интенсивных потоков энергии на конденсированные мишени, в частно­ сти, при высокоскоростном ударе, облучении электромагнитными импульса­ ми и потоками заряженных частиц, а также при пропускании мощных им­ пульсов тока. Все эти процессы сопровождаются нагревом и сжатием веще­ ства с последующим его расширением, что приводит к образованию неиде­ альной плазмы, в которой взаимодействие частиц значительно превосходит их кинетическую энергию. Часто в такой плазме электронная подсистема является вырожденной. Расчет термодинамических свойств плотной плазмы представляет собой весьма сложную задачу. Строгие теоретические методы применимы в ограниченной области фазовой диаграммы и сталкиваются со значительными трудностями при описании квантовых эффектов и связан­ ных состояний. Химическая модель плазмы, в основе которой лежат уравне­ ния ионизационного равновесия для молекул, атомов, ионов различной крат­ ности и электронов, строго сформулирована лишь для идеальной плазмы.

Учет эффектов неидеальности и вырождения в такой плазме осуществляет­ ся путем введения поправок, точные выражения для которых неизвестны.





Более последовательны в этом отношении квантово-статистические модели, в которых приближенно решается квантовая многочастичная задача для од­ ного атома (иона). Примерами таких подходов являются методы Томаса-Фер­ ми и Хартри-Фока-Слэтера в сферической ячейке. Это позволяет рассчитать лишь термодинамические свойства электронов, в то время как вклад атомов и ионов приходится учитывать аддитивно. Кроме того, в этом подходе не принимаются во внимание несферичность элементарной ячейки вещества и влияние соседних частиц. Таким образом, до недавнего времени не существо­ вало прямых методов моделирования плотной плазмы, поэтому для описания уравнения состояния такой среды широко применяются полуэмпирические подходы, в которых, наряду с теоретическими зависимостями, присутствуют подгоночные параметры, определяемые путем сравнения с эксперименталь­ ными данными.

В настоящее время наиболее последовательными и перспективными ме­ тодами расчета термодинамических свойств плотной плазмы являются метод функционала плотности и основанный на нем метод квантовой молекулярной динамики. Метод функционала плотности имеет строгое теоретическое обос­ нование и позволяет приближенно вычислять распределение электронной плотности и волновые функции электронов в реальной элементарной ячей­ ке вещества, которая может содержать несколько атомов различных сортов.

Метод квантовой молекулярной динамики позволяет также изучать и дина­ мику ионной подсистемы, что дает возможность рассчитывать полное уравне­ ние состояния кристаллов, жидкостей и плазмы. В связи с бурным развитием суперкомпьютерных технологий и численных методов в последнее десятиле­ тие появилась возможность проводить квантовое молекулярно-динамическое моделирование с числом частиц до 1000 и рассчитывать уравнение состояния плотной плазмы в условиях, труднодоступных для эксперимента. Исследова­ ние достоверности получаемых таким образом данных, а также возможность их использования в качестве замены дорогостоящим опытам составляет ак­ туальность данной работы.

Цель диссертационной работы состоит в проведении расчетов тер­ модинамических свойств плотной плазмы металлов методом функционала плотности и квантовой молекулярной динамики для выявления пределов при­ менимости этих методов, а также получения новых данных для калибровки полуэмпирических уравнений состояния.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи.

1. Выявлены пределы применимости псевдопотенциалов для ряда метал­ лов по температуре и плотности.

2. Разработан и реализован метод расчета термодинамических свойств электронов в металлах.

3. Разработаны и реализованы методы моделирования ударных адиабат однократного и повторного сжатия, пористых ударных адиабат, а так­ же изоэнтроп разгрузки для сопоставления с ударно-волновыми экспе­ риментальными данными.

4. Изучено влияние параметров моделирования на точность расчета тер­ модинамических свойств методом квантовой молекулярной динамики.

5. Разработан и реализован метод расчета кривых плавления металлов, в том числе при температуре электронов, значительно превышающей температуру ионов.

6. Разработан метод вычисления плотности электронных состояний в плот­ ной плазме по результатам моделирования методом квантовой молеку­ лярной динамики.

Научная новизна

1. В работе впервые были определены границы применимости псевдопо­ тенциалов для ряда металлов по температуре и плотности путем про­ ведения расчетов термодинамических свойств электронов и сопоставле­ ния с результатами более точной модели.

2. Впервые методом функционала плотности было продемонстрировано, что возбуждение внутренних электронных оболочек в металлах под дей­ ствием температуры не влияет на электронное давление, но обеспечи­ вает рост электронной теплоемкости.

3. Впервые были проведены первопринципные расчеты изоэнтроп разгруз­ ки, пористых ударных адиабат, а также скорости звука за фронтом ударной волны в алюминии в хорошем согласии с экспериментальными данными.

4. Впервые были рассчитаны зависимости кривых плавления алюминия и меди от температуры электронов; было показано, что температура плавления кристалла немонотонно изменяется с ростом температуры электронной подсистемы.

Научная и практическая ценность

1. Определенные в работе границы применимости псевдопотенциалов по температуре и плотности могут использоваться при выборе параметров моделирования.

2. Рассчитанные термодинамические свойства электронов в металлах мо­ гут быть использованы в качестве эталона для сравнения с другими, более простыми моделями, а также для калибровки параметров вклада электронов в уравнения состояния металлов.

3. Рассчитанные термодинамические свойства плотной плазмы алюминия в широком диапазоне параметров могут быть использованы как непо­ средственно в табличном виде, так и для калибровки полуэмпирических уравнений состояния.

4. Разработанный метод расчета кривых плавления металлов может при­ меняться для определения кривых плавления широкого круга веществ в широком диапазоне давлений, в том числе при температуре электронов, значительно превышающей температуру решетки.

На защиту выносятся следующие основные результаты и поло­ жения.

1. Метод оценки границ применимости псевдопотенциалов сверху по тем­ пературе и плотности.

2. Границы применимости псевдопотенциалов PAW по температуре и плот­ ности для Al и W, по плотности для Cu и Au.

3. Возбуждение электронов внутренних оболочек атома при повышении температуры оказывает значительное влияние на электронную тепло­ емкость, но практически не сказывается на электронном давлении.

4. Метод расчета зависимости температуры от давления на кривых плав­ ления кристаллов на основе квазигармонического приближения с при­ вязкой к одной экспериментальной точке.

5. Зависимость температуры плавления кристаллов Al и Cu различной начальной плотности от температуры электронов носит немонотонный характер. При температуре электронов 10 эВ и нормальной плотности температура плавления кристаллов Al и Cu повышается более, чем в 2 раза.

6. Первопринципный метод квантовой молекулярной динамики обеспечи­ вает хорошее согласие с экспериментальными данными для различных типов ударно-волновых экспериментов для Al. Многофазное уравнение состояния Al даёт более высокие температуры в жидкой фазе на основ­ ной ударной адиабате и изоэнтропах разгрузки по сравнению с расче­ тами методом квантовой молекулярной динамики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на XI Международном семинаре «Супервычисления и математическое моде­ лирование» (Саров, 2009), 52-й научной конференции МФТИ (2009), 7 Рос­ сийском симпозиуме «Проблемы физики ультракоротких процессов в сильно­ неравновесных средах» (Новый Афон, 2009), XII Международном семинаре «Супервычисления и математическое моделирование» (Саров, 2010), XXV International Conference «Equations of State for Matter» (Эльбрус, 2010), 53-й научной конференции МФТИ (2010), XIII Международном семинаре «Супер­ вычисления и математическое моделирование» (Саров, 2011), 54-й научной конференции МФТИ (2011), XIV Международной конференции «Супервы­ числения и математическое моделирование» (Саров, 2012), 55-й научной кон­ ференции МФТИ (2012), Международной конференции XV Харитоновские тематические научные чтения (Саров, 2013), Научно-координационной Сес­ сии «Исследования неидеальной плазмы» (Москва, 2013), XXV International Conference «Equations of State for Matter» (Эльбрус, 2010), New Models and Hydrocodes for Shock Wave Processes in Condensed Matter (Париж, Франция, 2010), XIV Liquid and Amorphous Metals Conference (Рим, Италия, 2010), XXVI International Conference on «Interaction of Intense Energy Fluxes with Matter» (Эльбрус, 2011), Strongly Coupled Coulomb Systems (Будапешт, Вен­ грия, 2011), 49th EHPRG Conference (Будапешт, Венгрия, 2011), International Conference on High Pressure Science and Technology AIRAPT-23 (Мумбаи, Ин­ дия, 2011), XXVII International Conference on «Equations of State for Matter»

(Эльбрус, 2012), 2012 March Meeting of the American Physical Society (Бо­ стон, США, 2012), 33rd International Workshop on Physics of High Energy Density in Matter (Хиршег, Австрия, 2013), XXVIII International Conference on «Interaction of Intense Enery Fluxes with Matter» (Эльбрус, 2013), Warm Dense Matter (Сан-Мало, Франция, 2013), 18th APS-SCCM and 24th AIRAPT (Сиэттл, США, 2013), 34th International Workshop on Physics of High Energy Density in Matter (Хиршег, Австрия, 2014), Международной конференции ХII Забабахинские научные чтения (Снежинск, 2014 г.), 10th Seminar on New Models and Hydrocodes for Shock Wave Processes in Condensed Matter (Парду­ бица, Чехия, 2014).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 28 печатных ра­ ботах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах, 3 статьи в сборниках тру­ дов конференций и 22 тезиса докладов.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положе­ ния, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубли­ кованные работы. Автором были проведены все расчеты методом функцио­ нала плотности и квантовой молекулярной динамики и выполнена интерпре­ тация полученных данных. На основании результатов исследования автором сформулированы и обоснованы выводы и заключения, вошедшие в диссерта­ цию.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 3-х глав, заключения, приложения и библиографии. Об­ щий объем диссертации 127 страниц, включая 39 рисунков и 4 таблицы. Биб­ лиография включает 177 наименований.

–  –  –

1. Метод функционала плотности Метод функционала плотности представляет собой точную квантовоме­ ханическую теорию для системы взаимодействующих квантовых частиц во внешнем потенциале ext (r). Сам метод основан на двух строго доказанных теоремах [1]:

1. Для любой системы взаимодействующих частиц во внешнем потенциа­ ле ext (r), потенциал ext (r) с точностью до произвольной постоянной определяется электронной плотностью основного состояния 0 (r).

2. Энергия невырожденного основного состояния системы для любого внеш­ него потенциала ext (r) является функционалом электронной плотности [(r)]. Основное состояние системы является минимумом этого функ­ ционала, который достигается при плотности, соответствующей основ­ ному состоянию системы 0 (r).

Из первой теоремы следует, что гамильтониан системы с точностью до постоянной величины определяется электронной плотностью основного состо­ яния 0 (r); отсюда следует, что определены многочастичные волновые функ­ ции для всех состояний (основного и возбужденных). Таким образом, все свой­ ства системы полностью определены, если известна электронная плотность основного состояния 0 (r). Из второй теоремы следует, что при известном функционале [] можно определить плотность и энергию основного состоя­ ния.

Функционал энергии в формулировке [1] можно записать следующим образом:

–  –  –

Минимум функционала (1) определяет основное состояние энергии системы и ее электронную плотность. Следует отметить, что (1) не несет никакой информации о возбужденных состояниях системы.

Прямая минимизация функционала HK [] наталкивается на определен­ ные трудности. Альтернативный способ нахождения минимума функциона­ ла [] использует выражение для энергии через многочастичную волновую функцию

–  –  –

Минимизация производится в два этапа. Сначала энергия минимизируется на классе многочастичных волновых функций, которые дают одну и ту же электронную плотность (r):

–  –  –

Такая двухступенчатая процедура применима также для вырожденного ос­ новного состояния, в этом случае минимум достигается на любой электронной плотности, соответствующей основному состоянию.

Теория функционала плотности допускает обобщение на случай конеч­ ных температур [2]. Функционал энергии от электронной плотности при этом заменяется на функционал большого термодинамического потенциала от оператора плотности :

^ [ ]

–  –  –

случае прямой связи между кинетической энергией и функцией электрон­ ной плотности. Для решения этой проблемы в работе [3] было высказано предположение, что основное состояние взаимодействующей системы частиц совпадает с основным состоянием эквивалентной системы невзаимодейству­ ющих частиц, а взаимодействие можно учесть посредством так называемого обменно-корреляционного функционала, зависящего от электронной плотно­ сти. Задача в такой формулировке может быть решена численными методами с точностью, определяемой выражением для обменно-корреляционного функ­ ционала. Этот прием оказался весьма успешным, и все существующие методы расчета на основе метода функционала плотности используют это приближе­ ние. Разработанные в настоящее время обменно-корреляционные функциона­ лы хорошо описывают полупроводники II–V группы, простые и переходные металлы, изоляторы, например, алмаз, NaCl и молекулы с ковалентной или ионной связью. Существуют также примеры, в которых метод функционала плотности ошибочно предсказывает металлические свойства для изоляторов.

Таким образом, подход Кона-Шэма [3] является лишь первым шагом на пути построения методов расчета различных свойств многоэлектронных сильно­ взаимодействующих систем.

Функционал энергии [] в приближении Кона-Шэма записывается сле­ дующим образом:

–  –  –

| |2, = | | = (12) 2 =1 2 =1 а кулоновская энергия взаимодействия электронов

–  –  –

Обменно-корреляционный функционал содержит многочастичные обмен­ ные и корреляционные эффекты; помимо этого, в нем содержится часть функ­ ционала кинетической энергии. Другими словами, обменно-корреляционный функционал представляет собой разность между кинетической энергией и энергией взаимодействия электронов в реальной взаимодействующей много­ частичной системе и в фиктивной системе невзаимодействующих частиц, в которой электрон-электронное взаимодействие заменено на энергию Хартри:

–  –  –

Обменно-корреляционный функционал xc [] может быть с хорошей точ­ ностью аппроксимирован локальным или почти локальным функционалом плотности (LDA) [3]:

xc [] = r(r)xc ([], r), (18) где xc ([], r) — энергия на один электрон в точке r, зависящая только от плотности (r, ) в некоторой окрестности точки r. Существуют также выра­ жения для xc [], в которых xc зависит не только от электронной плотности, но и от ее градиентов,

–  –  –

так называемое обобщенно-градиентное приближение [4, 5]. Следует отме­ тить, что уточнение LDA-приближения не всегда приводит к улучшению результатов моделирования. Кроме того, описание обменно-корреляционных эффектов с помощью обменно-корреляционных функционалов в приближе­ нии LDA и GGA несправедливо для систем, в которых электронная плот­ ность (r) не является медленно меняющейся функцией. В частности, такими системами являются электронный вигнеровский кристалл, систем с ван-дер­ ваальсовским взаимодействием, поверхность вещества, граничащего с вакуу­ мом [6]. Теоретически, однако, такие обменно-корреляционные функционалы могут быть построены.

Уравнения Кона-Шэма (15) для нахождения основного состояния систе­ мы решаются различными способами. Ниже перечислены наиболее распро­ страненные из них.

Загрузка...

Наиболее естественным базисом для разложения волновых функций в уравнениях Кона-Шэма является базис из плоских волн. В этом базисе хо­ рошо описываются почти свободные электроны, кроме того, плоские волны очень удобны для расчета зонной структуры вещества. Для описания электро­ нов внутренних оболочек используются различные псевдопотенциалы, как эмпирические, так и теоретические [7, 8]. Метод плоских волн в сочетании с псевдопотенциальным подходом стал одним из самых популярных методов для расчета электронной структуры, в том числе и в квантовых молекулярно­ динамических расчетах [9], и будет подробно разобран в разделе 3 данного обзора.

Другой подход состоит в построении волновых функций многоэлектрон­ ной системы посредством комбинирования волновых функций отдельных ато­ мов, так называемый метод локализованных орбиталей или сильной связи [10]. Существует множество разновидностей этого подхода, наиболее извест­ ным из которых является метод линейной комбинации атомных орбиталей.

Метод сильной связи является весьма простым и быстрым методом расчета зонной структуры вещества, и на его основе построены численные подходы, для которых время моделирования зависит от числа частиц линейно. Также этот метод является основой более сложных методов, например, линейной комбинации маффин-тин орбиталей [11].

Наконец, существует подход, объединяющий достоинства двух предыду­ щих. Для внутренних оболочек атома используется метод локализованных орбиталей, при этом обычно решаются сферически-симметричные уравне­ ния Кона-Шэма, Шредингера или Дирака. Для области пространства между атомами решение находится с помощью разложения по базисным функциям (плоским волнам). Такой метод расчета чаще всего используется для так на­ зываемых полно-электронных вычислений, когда учитываются все электро­ ны атома; с другой стороны, этот метод является наиболее трудоемким.

Расчет термодинамических функций в методе функционала плотности производится следующим образом. Наиболее просто вычисляется полная энер­ гия системы электронов, при = 0 можно также вычислить давление = /. При ненулевой температуре в самосогласованном расчете исполь­ зуют числа заполнения, пропорциональные функциям Ферми-Дирака:

–  –  –

где —химический потенциал системы, определяемый из условия электро­ нейтральности. При известных числах заполнения можно вычислить конфи­ гурационную энтропию [12] и свободную энергию системы и определить все необходимые термодинамические параметры.

2. Псевдопотенциальный подход

Фундаментальная идея псевдопотенциальной теории — с помощью неко­ торой процедуры уменьшить степень осцилляций рассчитываемых валент­ ных волновых функций вблизи ядра, тем самым уменьшив количество плос­ ких волн, которые потребуются для их разложения. Более того, рассчитыва­ ются электроны только верхних оболочек, так как известно, что от поведения этих электронов зависит большинство физических свойств веществ. Орбита­ ли внутренних электронов считаются неизменными — поведение волновых функций этих электронов не меняется при изменении внешнего химического окружения атома. Таким образом, суть данного подхода сводится к замене сильного электрон-ионного потенциала гораздо более слабым потенциалом – псевдопотенциалом – который бы описывал все основные свойства валентных электронов, включая релятивистские эффекты. Для этого исходная система заменяется системой, состоящей из псевдовалентных электронов и псевдо­ ионного кора. Свойства псевдоиона таковы, что его потенциал вне некоторого радиуса обрезания (кора) совпадает с потенциалом истинного иона, но внут­ ри этой сферы он гораздо слабее [13]. Тот факт, что потенциал внутри кора ослаблен — существенен, так как именно это делает решение уравнения Шре­ дингера внутри сферы кора значительно проще. В этом случае осциляции Рис. 1. Схематичная иллюстрация полноэлектронного (сплошная линия) и псевдоэлек­ тронного (штриховая линия) потенциалов и соответствующих им волновых функций. Ра­ диус, на котором полноэлектронное и псевдопотенциальное приближения совпадают, от­ мечен как

–  –  –

где | — сферические гармоники и — псевдопотенциал углового момента. Действуя на электронную волновую функцию, этот оператор раскладыва­ ет ее на сферические гармоники, каждая из которых умножается на соот­ ветствующий псевдопотенциал, индекс « » в данном случае означает «нелокальный».

–  –  –

ванным около атомного ядра.

Метод ортогонализованных плоских волн стал основой для первых зон­ ных расчетов веществ, отличных от sp-металлов [16]. Этот метод являет­ ся предшественником современных псевдопотенциальных подходов и метода проекционных присоединенных волн (PAW).

Основные принципы, на которых базируется создание современных псев­ допотенциалов, были введены в работе [17]. Согласно предложенной схеме, внутри некоторого атомного радиуса полноэлектронные волновые функции заменяются псевдоволновыми функциями, причем должен строго выполнять­ ся ряд условий:

валентные псевдоволновые функции, генерируемые псевдопотенциалом, не должны содержать узлов;

полноэлектронные и псевдовалентные собственные значения должны совпадать для выбранной в качестве прототипа атомной конфигурации;

полноэлектронные и псевдоволновые функции должны совпадать вне выбранного радиуса кора ;

объемные интегралы по полноэлектронной и псевдозарядовой плотно­ сти внутри кора должны быть равны (правило сохранения нормиров­ ки);

логарифмические производные полноэлектронной и псевдоволновой функ­ ции, а также их первые производные по энергии должны совпадать вне кора.

Псевдопотенциалы, удовлетворяющие этим условиям принято называть сохраняющими нормировку (norm-conserving).

Позже было установлено, что для хорошей переносимости псевдопотен­ циала, т.е. свойства валентных псевдоэлектронов описывать ответ системы на изменение химического окружения, требуется, чтобы кор располагался во­ круг самого дальнего максимума полноэлектронной волновой функции, по­ тому что только в этом случае распределение заряда и моменты полноэлек­ тронной волновой функции хорошо воспроизводятся псевдоволновой функ­ цией [18, 19]. Поэтому для элементов с сильно локализованными орбиталями (элементы первой группы, переходные металлы и редкоземельные элементы) получающийся псевдопотенциал требует большого набора базисных плоских волн. В качестве компромиссного решения часто идут на значительное уве­ личение радиуса кора, но такой подход неудовлетворительно сказывается на переносимости, и для любых новых химических сред требуются дополнитель­ ные тесты для проверки надежности таких мягких псевдопотенциалов.

Элегантное решение этой проблемы было предложено Вандербильтом [7].

Важной его особенностью является ослабление условия сохранения нормиров­ ки. Он предложил значительно сгладить волновые функции внутри кора и для компенсации дефицита заряда ввести локализованные в центре атома до­ полнительные заряды. Эти заряды обусловлены разницей между полноэлек­ тронной и псевдоволновой функциями. Соответствующий псевдопотенциал Рис. 2. Радиальная волновая функция 2p орбитали кислорода. Сплошная линия — полно­ электронная волновая функция, точечная линия — псевдоволновая функция, сгенериро­ ванная с помощью псевдопотенциала, сохраняющего нормировку [17], штриховая линия — гладкая часть псевдоволновой функции, полученной с помощью ультрамягкого псевдо­ потенциала [7].

получил название ультрамягкий (US-PP). Радиус кора псевдопотенциала в таком случае может быть выбран как половина межчастичного расстояния, независимо от положения максимума полноэлектронной волновой функции, что продемонстрировано на рис. 2. Но для точного воспроизведения распреде­ ления зарядовой плотности и моментов полноэлектронной волновой функции требуется подгонка параметров вспомогательных зарядов.

Данный подход был развит и адаптирован к вычислительным ресурсам [20–23], продемонстрировал хорошую точность и состоятельность для расче­ тов 3d-переходных элементов и, безусловно, стал одним из лучших по соот­ ношению «вычислительная ресурсозатратность–точность расчета». Но успех этого метода несколько нивелируется сложностью построения ультрамягких псевдопотенциалов: чтобы добиться высокой точности и переносимости псев­ допотенциала, приходится подбирать большое число параметров и проводить сложные тесты.

Некоторые из этих недостатков удалось избежать в подходе Блёхла [24], названного методом проекторов присоединенных волн (PAW). В своей работе Блёхл развил концепцию US-PP, объединив идеи псевдопотенциала и метод линеаризованных присоединенных плоских волн (LAPW) [25, 26].

В методе проекторов присоединенных волн используется линейное пре­ образование валентной псевдоволновой функции в полноэлектронную :

–  –  –

| =. (25) Преобразование для волновой функции кора имеет схожий вид, но функ­ ции проекторы не используются:

| = | + | |, (26) где псевдоволновая функция кора совпадает с полноэлектронной вне кора и непрерывна внутри, а и — соответственно парциальные полно­ электронные и псевдопотенциальные волновые функции.

Построение PAW потенциалов является менее ресурсозатратным, чем ультрамягких псевдопотенциалов, но расчеты с ними обычно требуют больше вычислительных ресурсов [8].

3. Метод квантовой молекулярной динамики

Метод квантовой молекулярной динамики был впервые предложен в работе [9]. Этот подход основан на методе функционала плотности и явно учитывает движение ионов. При этом силы, действующие на ионы рассчи­ тываются на основе решения многоэлектронной квантовомеханической зада­ чи. Такой подход оказался чрезвычайно перспективным и в результате, в том числе с последующими модификациями, хорошо зарекоммендовал себя для расчета различных свойств веществ, показывая при этом хорошее со­ гласие с экспериментальными данными. В научной литературе встречаются различные названия: квантовая молекулярная динамика (quantum molecular dynamics, QMD, КМД) или первопринципная молекулярная динамика (ab initio molecular dynamics, AIMD).

Обратимся к теоретическим основам данного метода, для этого рассмот­ рим систему классических ионов с координатами {R }, массами и энер­ гией взаимодействия [{R }] и запишем для них уравнения движения Нью­ тона:

RI = = F [{R }]. (27) R Эта система уравнений решается численно, например, с помощью алгорит­ ма Верле [27]. Ключевое свойство этого и других алгоритмов состоит в том, что несмотря на приближенный характер решения, энергия системы частиц сохраняется с хорошей точностью в течение всего времени моделирования при условии удачного выбора шага интегрирования. Силы, действующие на ионы, определяются как положениями ионов, так и электронами. В клас­ сической молекулярной динамике эти силы определяются эффективными по­ тенциалами взаимодействия. Для сложных систем эффективные потенциалы могут содержать большое число параметров, определяемых из эксперимента или из сравнения с более точными расчетами.

Прогресс, достигнутый в методах расчета электронной структуры веще­ ства, дал возможность рассчитывать силы, действующие на ионы со стороны электронов, без привлечения дополнительных аппроксимаций. Такие методы расчета, получившие в литературе название «первопринципные» (ab initio), основаны на приближении Борна-Оппенгеймера. В рамках этого приближе­ ния электронная плотность рассчитывается при неподвижных ионах, а ионы двигаются под действием сил со стороны электронов при неподвижных элек­ тронах.

В работе [9] впервые были объединены задачи нахождения электронной плотности при подвижных ионах. Это позволило осуществлять поиск равно­ весных структур, изучать тепловое движение ионов, моделировать фазовые переходы и т.п. С другой стороны, алгоритм [9] не описывает динамику элек­ тронов, а предназначен для поиска основного состояния многоэлектронной системы при движущихся ионах. Для этого в лагранжиан системы, помимо энергии взаимодействия электронов и кинетической энергии ионов включа­ ется фиктивная кинетическая энергия электронов:

–  –  –

Последний член в уравнении (28) является существенным для учета условия нормировки электронных волновых функций. Из лагранжиана (28) следуют уравнения движения как для электронов, так и для ионов:

–  –  –

используются различные алгоритмы для вычисления траекторий движения ионов и нахождения электронной плотности. Такое разделение имеет свои преимущества и недостатки. Так, молекулярно-динамический шаг по време­ ни для интегрирования уравнений движения для ионов можно выбирать до­ статочно большим, с другой стороны, распределение электронной плотности при заданных положениях ионов необходимо вычислять гораздо точнее, чем в алгоритме [9]. Тем не менее, существующие в настоящее время пакеты про­ грамм чаще всего используют именно этот подход.

Термодинамические функции ионов, в частности, энергия и давление, вы­ числяются стандартным для классической молекулярной динамики методом [27] посредством усреднения по достаточно большому числу конфигураций.

Энергия каждой конфигурации определяется суммой энергий парных взаи­ модействий ионов, а давление — по теореме вириала.

Чаще всего для расчетов методом молекулярной динамики используется канонический ансамбль (постоянные,, ). Для этого необходимо исполь­ зовать алгоритм термостата, чтобы контролировать температуру. Температу­ ра связана со скоростью частиц законом равнораспределения энергии:

= =, (31)

–  –  –

Метод квантовой молекулярной динамики активно набирает популяр­ ность на протяжении последних 20 лет. На сегодняшний момент использо­ вание современных суперкомпьютеров позволяет проводить расчеты с более чем 1000 частицами [31–34], что позволяет изучать неупорядоченные системы и даже фазовые переходы [31, 34]. Все это делает КМД перспективным ме­ тодом для описания теплофизических свойств веществ в широком диапазоне параметров.

В последние годы методом квантовой молекулярной динамики получе­ но большое количество результатов при моделировании термодинамических свойств различных веществ в области жидкости и плазмы. Необходимо от­ метить, что этот метод активно применяется для описания ударных адиабат многих материалов: водорода [35] и дейтерия [36–39], гелия [40], углерода [41], метана [42], кварца [43], воды [44, 45], CO2 [46], алюминия [47], железа [48], ксенона [49, 50], полимеров [51] и некоторых других. Кроме того изучена фазо­ вая диаграмма воды при высоких температурах и давлениях [52], проведены расчеты изохор плазмы различных металлов [53–55].

Весьма интересные результаты получены при моделировании плавления металлов: натрия [56], алюминия [57] и железа [58]. Чаще всего такое мо­ делирование осуществляется с помощью однофазного подхода, при котором каким-либо образом регистрируется плавление изначально кристаллического вещества, однако делаются попытки провести и двухфазное моделирование, при котором жидкая и твердая фазы приводятся в равновесие при заданном давлении [57].

Приведенный обзор показывает, что метод квантовой молекулярной ди­ намики очень востребован, активно развивается и находит все больше вари­ антов применения для расчетов теплофизических свойств веществ. Создание мощных вычислительных пакетов [59–61], использующих возможности парал­ лельных вычислений на суперкомпьютерных кластерах, а также бурный рост производительности современных компьютеров обеспечивает растущие воз­ можности этого подхода и дает основания предполагать востребованность и развитие этого метода и в будущем.

–  –  –

Расчет свойств электронной подсистемы в псевдопотенциальном подходе

1.1. Исследование границ применимости псевдопотенциалов Расчеты свойств электронной структуры методом функционала плотно­ сти с использованием псевдопотенциалов и плосковолнового базиса в насто­ ящее время приобретают все большее значение в виду успехов в развитии псевдопотенциальных методов и существенном преимуществе в скорости и сложности таких расчетов по сравнению с полноэлектронным методом [62].

Стимулом для этих работ послужили исследования воздействия излучения фемтосекундного лазерного импульса на вещество. В экспериментах такого типа электроны кристалла практически мгновенно нагреваются до темпера­ туры в несколько электрон-вольт и выше, а ядра остаются холодными. Та­ кая система, представляющая собой двухтемпературную сильнонеидеальную плазму, даже получила собственное название — Разогретое Плотное Вещество (Warm Dense Matter или WDM).

Конечно, нужно учитывать, что замена самосогласованного потенциала псевдопотенциалом является аппроксимацией, а, следовательно, важно знать границы применимости используемых псевдопотенциалов. Задачей данной части работы было определение таких границ для выбранных псевдопотенци­ алов по плотности и температуре на основе сравнения результатов расчетов свойств кристаллов и электронных структур для ряда металлов псевдопотен­ циальными и полнопотенциальными методами. В последних учитываются все электроны в рамках метода функционала плотности (DFT), при этом часть электронов, составляющих так называемый «незамороженный» кор, рассмат­ ривается в сферически-симметричном приближении для ускорения вычисле­ ний. В псевдопотенциальных методах часть электронов включают в «заморо­ женный» кор, параметры которого не зависят от температуры и плотности, что позволяет при моделировании учитывать только валентные электроны (не включенные в кор). Расчеты полнопотенциальным методом были выпол­ нены с помощью программного пакета LMTART [63], реализующего метод линейных маффин-тин орбиталей (FP-LMTO) [64] и модифицированный со­ гласно работе [65]. Также использовались данные из работы [66], полученные с помощью аналогичного подхода. Все расчеты в рамках псевдопотенциально­ го подхода выполнялись с помощью программного пакета VASP [23, 67–69] с различными псевдопотенциалами, в том числе ультрамягкого (US-PP) [7, 22] и более точных PAW (projector-augmented-wave) [8, 24], основанных на методе проекционных присоединенных волн. Для обменно-корреляционного функци­ онала использовалось обобщенно-градиентное приближение (GGA) с коррек­ циями Пердью и Вонга (PW91) [5, 70] или в параметризации Пердью, Бурке и Эрценхофа (PBE) [71, 72] для PAW потенциалов.

Расчеты методом FP-LMTO были проведены Н.А. Смирновым и Г.В. Синь­ ко.

Для исследования границ применимости псевдопотенциалов по сжатию производились зонные расчеты холодных кривых, в которых рассматрива­ лась элементарная ячейка выбранных металлов с предварительно заданной кристаллической структурой.

На рис. 1.1 показана зависимость давления от степени сжатия для алю­ миния с кристаллической решеткой ГЦК при = 0 К, полученная из пол­ ноэлектронных расчетов FP-LMTO и с помощью VASP при использовании PAW псевдопотенциала с 3-мя валентными электронами.

–  –  –

хвостов в междоузельной области брались в соответствии с алгоритмом, опи­ санным в [65]. В междоузельной области при разложении по плоским волнам использовалась энергия обрезания cut = 960 эВ. Для быстрого преобразо­ вания Фурье использовалась сетка размером (24, 24, 24) в -пространстве.

Сетка для интегрирования по зоне Бриллюэна с использованием линейного метода тетраэдров [24] строилась путем разбиения ребер элементарной ячей­ ки на равное число частей = 20. В самосогласованном расчете удельной энергии число зон выше уровня Ферми бралось равным bands = 101.

Зонные расчеты с помощью VASP проводились с использованием сетки

-точек 242424 в зоне Бриллюэна, генерируемой по схеме Монхорста-Пака [73]. Энергия обрезания плоских волн равнялась 700 эВ.

Как и ожидалось, результаты обоих методов совпадают в начальной об­ ласти вплоть до степени сжатия 8, но при дальнейшем увеличении дав­ ления возникает ошибка псевдопотенциала, которая увеличивается с ростом плотности.

На рис.1.2 изображена холодная кривая меди с кристаллической струк­ турой ГЦК, рассчитанная с помощью различных псевдопотенциалов в срав­ нении с полноэлектронным расчетом [66].

–  –  –

P, M / Рис. 1.1. Холодная кривая алюминия с решеткой ГЦК. Сплошная линия — полноэлек­ тронный расчет FP-LMTO, пунктирная линия — результат расчета с помощью VASP с использованием PAW потенциала. В скобках указаны электроны, не включенные в кор.

Как видно из графика, все псевдопотенциалы дают одинаковое значение давления только до степени сжатия 2.5. При дальнейшем сжатии ультра­ мягкий псевдопотенциал сначала занижает давление, а затем завышает его.

Остальные электронные псевдопотенциалы, рассматривающие 11 валентных электронов, дают приемлемые результаты до степени сжатия 4. При большем сжатии хорошие результаты дает только 17 электронный псевдопо­ тенциал и обеспечивает хорошее совпадение с полноэлектронным расчетом вплоть до 6, псевдопотенциалы с меньшим числом электронов вне кора могут как завышать, так и занижать сжимаемость вещества. Необходимо на­ помнить, что выбор псевдопотенциала значительно влияет на скорость расче­ та, и расчеты с использованием ультрамягких псевдопотенциалов наиболее быстрые. Учет дополнительных валентных электронов сильно увеличивает время моделирования.

Производились также расчеты по изотермическому сжатию золота с ис­ пользованием разных псевдопотенциалов. Использовались ультрамягкий псев­ допотенциал Вандербильта с 11 валентными электронами и PAW-потенциа­ лы, содержащие 11 и 17 валентных электронов, с разными обменно-корре­ ляционными функционалами (PW91 [5, 70] и PBE [71, 72]) в обобщенно-гра­ диентном приближении. Как можно заметить из графика 1.3, для золота, как и в случае для меди, все псевдопотенциалы дают одинаковое значение давления до степени сжатия 2.5. При дальнейшем сжатии ультрамяг­ кий потенциал дает меньшие давления, нежели PAW и PBE с 17 валентными электронами.

Эта серия расчетов показывает, что характер отклонения результатов псевдопотенциального расчета от полноэлектронного вне области примени­ мости может быть любым, и заранее предсказать его невозможно.

Все дальнейшие расчеты проводились для системы, в которой темпера­ тура ионов равна нулю, а температура электронов менялась от нулевой до

–  –  –

, / Рис. 1.2. Холодная кривая для меди, полученная с использованием различных псевдо­ потенциалов, и сравнение с полноэлектронным расчетом (сплошная красная линия) [66].

Сплошная черная линия — ультрамягкий псевдопотенциал (US) с 11 валентными элек­ тронами, сплошная синяя линия — псевдопотенциал PAW с 17 валентными электронами и обменно-корреляционным функционалом PBE [71, 72], пунктирная линия — псевдопо­ тенциал PAW c 11 валентными электронами и обменно-корреляционным функционалом PW91 [5, 70], штрих-пунктирная линия — псевдопотенциал PAW с 11 валентными элек­ тронами и обменно-корреляционным функционалом PBE [71, 72].

–  –  –

, 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 / Рис. 1.3. Холодная кривая для золота, полученная с использованием разных псевдопотен­ циалов. Сплошная линия — ультрамягкий псевдопотенциал (US) с 11 валентными элек­ тронами, пунктирная линия — псевдопотенциал PAW с 11 валентными электронами и об­ менно-корреляционным функционалом PW91 [5, 70], черная штрих-пунктирная линия — псевдопотенциал PAW с 11 валентными электронами и обменно-корреляционным функ­ ционалом PBE [71, 72], синяя штрих-пунктирная линия — псевдопотенциал PAW с 17 валентными электронами и обменно-корреляционным функционалом PBE [71, 72].

порядка десяти электрон-вольт. Такая ситуация характерна при воздействии фемтосекундных лазерных импульсов на вещество [74–76]. Спектр электро­ нов в этом случае определяется самосогласованным взаимодействием горя­ чих электронов и холодных ядер, расположенных в узлах кристаллической решетки. В качестве сравниваемых величин были выбраны теплоемкость при постоянном объеме и тепловое давление.

1.2. Электронная теплоемкость

Теплоемкость при постоянном объеме может быть вычислена дифферен­ цированием удельной внутренней энергии вдоль изохоры, = (/ ).

Здесь — температура, — удельный объем, = 1, — плотность.

На рис. 1.4-1.5 показана теплоемкость при постоянном объеме в алюми­ нии и вольфраме, рассчитанная в полноэлектронном и псевдопотенциальном приближениях с помощью программных кодов FP-LMTO и VASP, соответ­ ственно, для случая холодных ионов и нагретых электронов на нормальной изохоре = 0. Для используемых псевдопотенциалов электроны 32 и 31 не включались в кор для алюминия, а электроны 54 и 62 для вольфрама.

Для вольфрама использовались следующие параметры метода FP-LMTO:

max = 7, max = 8, max = 8, = 20, cut = 1020 эВ, = 16, = 4, bands = 94. Электроны 5, 5, 4, 5 и 6 считались валентными. Функци­ онал Гуннарсона-Лундквиста [77] с градиентными поправками [5] использо­ вался для расчета обменно-корреляционной энергии. Для быстрого преобра­ зования Фурье применялась сетка (24, 24, 24) в -пространстве.

Различия между моделями FP-LMTO и VASP на рис. 1.4-1.5 вызваны, в основном, эффектом теплового возбуждения электронов кора, который не принимается в расчет в псевдопотенциальных подходах. Если максимальный уровень энергии кора обозначить как, а минимальный уровень энергии 12 0.2

–  –  –

6 0.1 Рис. 1.4. Зависимость электронной теплоемкости при постоянном объеме в расчете на один атом (сплошная линия — FP-LMTO, пунктирная — VASP) и числа возбужденных электронов кора (штрих-пунктир, правая ось) от температуры электронной подсистемы в решетке ГЦК алюминия при нормальной плотности.

14 0.8

–  –  –

Рис. 1.5. Зависимость электронной теплоемкости при постоянном объеме в расчете на один атом (сплошная линия — FP-LMTO, пунктирная — VASP) и числа возбужденных электронов кора (штрих-пунктир, правая ось) от температуры электронной подсистемы в решетке ОЦК вольфрама при нормальной плотности.

–  –  –

где = (1 + exp[( (, ))/ ])1 — функция Ферми–Дирака, — хими­ ческий потенциал. Параметр также показан на рис. 1.4-1.5 и привязан к нижней и правой осям.

Энергетическая щель между максимальным уровнем энергии кора и ми­ нимальным уровнем энергии валентной зоны для алюминия больше, чем для вольфрама ( Al = 54 эВ, W 24 эВ). Поэтому разница между FP-LMTO и VASP для Al на рис. 1.4 проявляется при достаточно больших электронных температурах ( 8 эВ), когда тепловое возбужде­ ние электронов кора становится заметным. Возбуждение электронов кора для W начинается при 3 эВ и приводит к существенному различию между двумя методами.

Из вышеизложенных результатов ясно, что псевдопотенциальные мето­ ды в теории функционала плотности можно использовать в ограниченном диапазоне давлений и температур по сравнению с полноэлектронными. Эти пределы, однако, не совпадают для различных термодинамических величин и должны устанавливаться на основе численных расчетов. Качественно мож­ но сказать, что чем больше величина энергетической щели между верхними энергетическими уровнями кора и нижними уровнями валентной зоны, тем больше область применимости псевдопотенциальных методов.

1.3. Тепловое давление электронной подсистемы Также в этой главе вычислялось тепловое давление электронов на изохоре = 0 по различным моделям для Al и W, = (, ) (, 0).

Эти данные приведены на рис. 1.6-1.7. Интересно отметить, что, в отличие от результатов для электронной теплоемости, методы FP-LMTO и VASP хо­ рошо согласуются между собой по этой величине для двух металлов во всем диапазоне исследуемой электронной температуры от 0 до 12 эВ. Этот факт свидетельствует о том, что основной вклад в тепловое давление дают элек­ троны верхних энергетических уровней, возбуждение же электронов нижних уровней влияет незначительно.

1.4. Расчет плотности состояний электронов из многочастичного расчета

Следующей важной величиной для определения свойств плотной плаз­ мы является плотность состояний электронов. Существенная проблема со­ стоит в получении этих данных напрямую из многочастичных расчетов ме­ тодом квантовой молекулярной динамики, так как необходимо корректно учесть огромное число энергетических уровней. С другой стороны, в условиях сильнокореллированной плазмы влияние ионной подсистемы на электронные свойства может быть существенным, поэтому анализ плотности состояний мо­ жет представлять значительный интерес.



Pages:   || 2 | 3 |
 
Похожие работы:

«Шахсинов Гаджи Шабанович НЕСТАЦИОНАРНЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЕМ МЕТАСТАБИЛЬНЫХ АТОМОВ ИНЕРТНЫХ ГАЗОВ В ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛНОВОДАХ 01.04.04 – физическая электроника ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель: д. ф.-м. н., профессор Ашурбеков Назир Ашурбекович Научный консультант: д. ф.-м. н., профессор Иминов Кади Османович Махачкала – 2015 Оглавление ВВЕДЕНИЕ...»

«ЕМЕЛЬЯНОВ НИКИТА АЛЕКСАНДРОВИЧ Структура и диэлектрические свойства наночастиц BaTiO3 c модифицированной поверхностью и композитного материала на их основе Специальность 01.04.07 – физика конденсированного состояния ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель: доктор технических наук, профессор, Заслуженный деятель науки РФ Сизов А.С. Курск – 2015...»

«ГУРИН Григорий Владимирович СПЕКТРАЛЬНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ВЫЗВАННОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ ВКРАПЛЕННЫХ РУД Специальность 25.00.10 – Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых Диссертация на соискание ученой степени кандидата геолого-минералогических наук Научный руководитель: д.г.-м.н., проф. К.В. Титов Санкт-Петербург –...»

«КУДАШОВ Егор Сергеевич ИНЖЕНЕРНО-ГЕОЛОГИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НАМЫВНЫХ ГИПСОНАКОПИТЕЛЕЙ Специальность 25.00.16 – Горнопромышленная и нефтегазопромысловая геология, геофизика, маркшейдерское дело и геометрия недр Диссертация на соискание ученой степени...»

«Чирская Наталья Павловна Математическое моделирование взаимодействия космических излучений с гетерогенными микроструктурами Специальность: 01.04.20 – физика пучков заряженных частиц и ускорительная техника 01.04.16 – физика атомного ядра и элементарных частиц диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель: доктор...»

«ПАНЧЕНКО Алексей Викторович МАРКШЕЙДЕРСКАЯ ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ КРИВОЛИНЕЙНОГО В ПЛАНЕ БОРТА КАРЬЕРА Специальность 25.00.16 – Горнопромышленная и нефтегазопромысловая геология, геофизика, маркшейдерское дело и геометрия недр Научный руководитель: доктор технических...»

«САВЕЛЬЕВ Денис Игоревич ГИДРОГЕОЛОГИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ МЕРОПРИЯТИЙ ПО ПРЕДОТВРАЩЕНИЮ НЕГАТИВНЫХ ПОСЛЕДСТВИЙ ЗАТОПЛЕНИЯ УГОЛЬНЫХ ШАХТ Специальность 25.00.16 – Горнопромышленная и нефтегазопромысловая геология, геофизика, маркшейдерское дело и геометрия недр Диссертация...»

«ВОРОНЦОВА ЕВГЕНИЯ АЛЕКСЕЕВНА МЕТОД ОТДЕЛЯЮЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ОТСЕЧЕНИЯМИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ЗАДАЧАХ АНАЛИЗА ДАННЫХ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Научный...»

«Черемхина Анастасия Петровна ОЦЕНКА ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ИЗМЕНЕНИЯ ИНЖЕНЕРНОГЕОЛОГИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГИДРООТВАЛОВ ВСКРЫШНЫХ ПОРОД В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ЭТАПА ЭКСПЛУАТАЦИИ Специальность 25.00.16 Горнопромышленная и нефтегазопромысловая геология, геофизика,...»

«Семиков Сергей Александрович Методы экспериментальной проверки баллистической теории света 01.04.03 – Радиофизика ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель д. ф.-м. н., проф. Бакунов Михаил Иванович Нижний Новгород – 2015 Содержание ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1....»

«ЧАН ВАН ХАНЬ СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОМЫШЛЕННЫХ БОРТОВЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ СЕТЕВОЙ ИНФОРМАЦИОННОЙ СРЕДЫ Специальность 05.13.01 – «Системный анализ управление и обработка информации» ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата технических наук Научный руководитель: д.т.н., профессор Нгуен Куанг Тхыонг Москва 2015...»

«Косолобов Дмитрий Александрович Эффективные алгоритмы анализа закономерностей в строках Специальность 01.01.09 дискретная математика и математическая кибернетика Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель доктор физико-математических наук...»









 
2016 www.konf.x-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, диссертации, конференции»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.